Badanie zbieżności

[Janusz Tracz]

Witam.
Wiadomo że szereg odwrotności liczb pierwszych jest rozbieżny, ja zastanawiam się w jaki sposób zbiór liczb pierwszych (oznaczmy \(\displaystyle{ \PP}\)) należało by rozrzedzić (w rozumieniu intuicyjnym) by szereg stał się zbieżny. W szczególności zastanawiam się nad szeregami typu:

\(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{A}_i} \frac{1}{k}}\)

małe uogólnienie w przyszłości:    

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{A}_i} \frac{1}{k}}\) jest najbardziej narzucającym się szeregiem do takich zabaw, nie wykluczam badania szeregów bardziej subtelnych np.:

\(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{A}_i} \frac{1}{k \cdot \ln k}}\)

itp.

Gdzie:
\(\displaystyle{ \mathbb{A}_1=\left\{ x\ \bigg|\ x\in\PP \wedge \text{ostatnia cyfra x to 1}\right\}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{A}_2=\left\{ x\ \bigg|\ x\in\PP \wedge \text{pierwsza cyfra x to 1}\right\}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{A}_3=\left\{ x\ \bigg|\ x\in\PP \wedge \text{w zapisie x nie występuje cyfra 1}\right\}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{A}_4=\left\{ x\ \bigg|\ x\in\PP \wedge \text{w zapisie x występuje tyle samo cyfr 1 co cyfr 2}\right\}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{A}_5=\left\{ x\ \bigg|\ x\in\PP \wedge \text{w zapisie x jest parzysta liczba cyfr}\right\}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{A}_6=\left\{ x\ \bigg|\ x\in\PP \wedge \text{x składa się wyłącznie z nieparzystych cyfr}\right\}}\)

\(\displaystyle{ \mathbb{A}_7=\left\{ x\ \bigg|\ x\in\PP \wedge \text{x składa się wyłącznie z cyfr 1,3}\right\}}\)

i wiele innych kombinacji tego typu. Nie wykluczam też brania części wspólnych i innych kombinacji (no byle by zbiór był nieskończony). Podane przeze mnie zbiory to nie są konkretne przykłady i można je modyfikować zmieniając wymagania odnoście cyfr.

Być może pomocne będzie też wprowadzenie oznaczenia. Niech więc:

\(\displaystyle{ \mathcal{S}_i=\sum_{k\in\mathbb{A}_i} \frac{1}{k}}\)

Za pomoc i poświęcony czas z góry dziękuję.

[Rozbitek]

Przepraszam, że się w ogóle wypowiadam, skoro znam się mniej od Ciebie, ale z tego co pamiętam z wykładu, to usunięcie z szeregu skończonej liczby wyrazów - nie wpływa na zbieżność szeregu. Jeśli nie o to pytasz, to milknę i znikam.

[NogaWeza]

Rozbitek, skończonej liczby nie, ale przecież jest przeliczalnie wiele liczb, które zawierają przykładowo cyfrę \(\displaystyle{ 9}\); a popatrz na przykład tutaj. Żaden ze zbiorów podanych przez Janusza nie jest przecież skończony.

W \(\displaystyle{ A_3}\) warunek o pierwszości można zatem pominąć przez analogię do szeregu Kempnera, prawda?

[Premislav]

Istotnie, co więcej analogiczny argument daje też zbieżność szeregów zbudowanych z odwrotności elementów \(\displaystyle{ A_6}\) i \(\displaystyle{ A_7}\).

[timon92]

twierdzenie Dirichleta mówi, że dla dowolnych \(\displaystyle{ a,b}\) względnie pierwszych szereg odwrotności liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ an+b}\) jest rozbieżny; położenie \(\displaystyle{ a=10}\) i \(\displaystyle{ b=1}\) załatwia sprawę \(\displaystyle{ \mathbb A_1}\)

[Dasio11]

Twierdzenie o liczbach pierwszych mówi, że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{\pi(n)}{\frac{n}{\ln n}} = 1}\)

zatem jeśli \(\displaystyle{ \alpha > 1,}\) to dla dużych \(\displaystyle{ n}\):

\(\displaystyle{ \frac{n}{\alpha \ln n} \leqslant \pi(n) \le \frac{\alpha n}{\ln n}.}\)

Wprawdzie standardowo określa się \(\displaystyle{ \pi(n) = \{ p \le n : p \text{ jest liczbą pierwszą} \},}\) ale oczywiście powyższe stwierdzenie pozostaje prawdziwe, jeśli \(\displaystyle{ \pi(n)}\) zastąpimy przez \(\displaystyle{ \pi'(n) = \{ p < n : p \text{ jest liczbą pierwszą} \}.}\) Stąd istnieje takie \(\displaystyle{ K,}\) że dla \(\displaystyle{ k \ge K}\) mamy

\(\displaystyle{ $\begin{align*} N_k &= # \{ p \in \NN : p \text{ jest liczbą pierwszą } (k+1) \text{-cyfrową o pierwszej cyfrze} = 1 \} \\[1ex] & = \{ 10^k \leqslant p < 2 \cdot 10^k : p \text{ jest liczbą pierwszą} \} = \pi'(2 \cdot 10^k) - \pi'(10^k) \\[1ex] & \ge \frac{2 \cdot 10^k}{\alpha (\ln 2 + k \ln 10) } - \frac{\alpha \cdot 10^k}{k \ln 10} \ge \frac{10^k}{k \ln 10} \left( \frac{2}{\alpha \left( 1 + \frac{\ln 2}{\ln 10} \right)} - \alpha \right). \end{align*}$}\)

Jeśli weźmiemy \(\displaystyle{ \alpha \approx 1,}\) to liczba \(\displaystyle{ \beta = \frac{2}{\alpha \left( 1 + \frac{\ln 2}{\ln 10} \right)} - \alpha}\) będzie dodatnia. Zatem

\(\displaystyle{ \sum_{p \in \mathbb{A}_2} \frac{1}{p} \ge \sum_{k=K}^{\infty} N_k \cdot \frac{1}{2 \cdot 10^k} \ge \sum_{k=K}^{\infty} \frac{\beta}{2k \ln 10}}\)

czyli ten szereg jest rozbieżny.


Jeśli w powyższej sumie weźmiemy co drugi wyraz, to wyjdzie, że suma odwrotności \(\displaystyle{ \mathbb{A}_2 \cap \mathbb{A}_5}\) jest rozbieżna, więc \(\displaystyle{ \mathbb{A}_5}\) tym bardziej.

[Janusz Tracz]

Dziękuję Wszystkim za odpowiedzi dużo mi pomogły. Jednocześnie przepraszam za odstępy w odpisywaniu, spowodowane są deficytem czasu i tym że temat jest dla mnie nowy.

O ile o szeregach Kempnera udało mi się znaleźć trochę literatury, to o twierdzeniu Dirichleta w ujęciu z szeregami nie znalazłem nic konkretnego dlatego jeśli timon92, masz jakąś literaturę, linki to proszę podeślij.

Zastanawiam się nad takim zbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subseteq \PP}\) zbudowanego analogicznie jak wyżej dla którego szereg:

\(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{A} }^{} \frac{1}{k}}\) będzie rozbieżny

ale jednocześnie

\(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{A} }^{} \frac{1}{k \cdot \ln k}}\) będzie zbieżny

[Janusz Tracz]

Stąd płynie ciekawy wniosek. Wiemy, że dla dowolnych naturalnych liczb takich, że \(\displaystyle{ \NWD(a,b)=1}\) w zbiorze \(\displaystyle{ \mathbb{A}=\left\{ an+b: n\in\NN\right\}}\) jest nieskończenie wiele liczb pierwszych. Dodatkowo suma odwrotności tych liczb pierwszych (ze zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\)) jest rozbieżna. Wynika stąd, że każda z cyfr \(\displaystyle{ \left\{ 0,1,2,...,9\right\}}\) występuje w zapisie liczb pierwszych ze zbioru \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) nieskończenie wiele razy. W przeciwnym razie zakładając, że jakaś cyfra występuje w zapisie liczb pierwszych z \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) skończoną liczbę razy można by sumę odwrotności tych liczb oszacować z góry odpowiednim szeregiem Kempnera ale takie szacowanie to sprzeczność bo szereg Kempnera jest zbieżny a z tw. Dirichleta wiemy, że szereg odwrotności liczb pieszych z \(\displaystyle{ \mathbb{A}}\) jest rozbieżny.

Czyli dowolna cyfra powtarza się w zapisie liczb pierwszych postaci \(\displaystyle{ an+b}\) nieskończenie wiele razy.

[PoweredDragon]

Wow. Bardzo budujące


---tu były błędy---

[Dasio11]

Zastanawiam się nad takim zbiorem \(\displaystyle{ \mathbb{A} \subseteq \PP}\) zbudowanego analogicznie jak wyżej dla którego szereg:

\(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{A} }^{} \frac{1}{k}}\) będzie rozbieżny

ale jednocześnie

\(\displaystyle{ \sum_{k\in\mathbb{A} }^{} \frac{1}{k \cdot \ln k}}\) będzie zbieżny

Nawet \(\displaystyle{ \mathbb{A} = \PP}\) będzie pasować. Z twierdzenia o liczbach pierwszych wynika, że dla dowolnego \(\displaystyle{ \beta \in (0, 1)}\) od pewnego miejsca zachodzi

\(\displaystyle{ p_n \ge \beta n \ln n,}\)

gdzie \(\displaystyle{ p_n}\) oznacza \(\displaystyle{ n}\)-tą liczbę pierwszą. Dla \(\displaystyle{ \beta = \frac{1}{2}}\) dostajemy

\(\displaystyle{ \frac{1}{p_n \ln p_n} \le \frac{1}{\frac{1}{2} n \ln n \cdot \ln \big( \frac{1}{2} n \ln n \big)} \le \frac{2}{n \ln^2 n},}\)

zatem szereg

\(\displaystyle{ \sum_{k \in \mathbb{P}} \frac{1}{k \ln k} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{p_n \ln p_n}}\)

jest zbieżny.