Obliczyć granicę lub wykazać, że ona nie istnieje

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
karmelowyzuk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 lis 2017, o 22:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 2 razy

Obliczyć granicę lub wykazać, że ona nie istnieje

Post autor: karmelowyzuk » 5 lis 2017, o 23:28

Polecenie takie jak w temacie, trzeba olbiczyć granice ciągów. Będę wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \frac{2^{n }\cdot n!}{n^{n}}}\)

Liczyłam granicę \(\displaystyle{ \left| \frac{ a_{n+1} }{a _{n} } \right|}\) wyszło mi 0. Czyli granica ciągu \(\displaystyle{ a _{n}}\) też jest równa 0. Mógłby ktoś potwierdzić albo najlepiej przedstawić całe rozumowanie jak się to powinno robić? Nie jestem pewna tego rozwiązania.

Drugi przykład:

\(\displaystyle{ b _{n}= n \cdot \sin \left( \frac{n \cdot \pi }{2}\right)}\)

W tym drugim trzeba chyba skorzystać z podciągów?

Trzeci przykład:

\(\displaystyle{ c _{n}= \sqrt[n]{2n-\cos n}}\)

Zupełnie nie wiem jak się do tego zabrać.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Obliczyć granicę lub wykazać, że ona nie istnieje

Post autor: Premislav » 5 lis 2017, o 23:35

Miało być \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2^{n \cdot n!}}{n^n}}\), czy jednak
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{2^{n} \cdot n!}{n^n}}\)
Jeżeli to pierwsze to granica jest trywialna: \(\displaystyle{ 2^k \ge k}\) dla \(\displaystyle{ k\in \NN}\) (łatwo to wykazać np. indukcyjnie lub z nierówności Bernoulliego), zatem
\(\displaystyle{ 2^{n\cdot n!}=\left( 2^{n!}\right)^n \ge n!^n}\)
i
\(\displaystyle{ \frac{2^{n \cdot n!}}{n^n} \ge (n-1)!^n}\),
więc mamy granicę niewłaściwą \(\displaystyle{ +\infty}\).

Natomiast co do trzeciego przykładu (nie widzę wprawdzie drugiego)
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{3}\sqrt[n]{n}=\sqrt[n]{3n}\ge\sqrt[n]{2n-\cos n}\ge \sqrt[n]{n}}\)
ponieważ \(\displaystyle{ -n\le -1\le \cos n \le 1\le n}\) dla \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\)
i zastosuj twierdzenie o trzech ciągach.

-- 6 lis 2017, o 00:40 --

Aha, już widzę drugie, nie istnieje
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } n \cdot \sin \left( \frac{n \cdot \pi }{2}\right)}\), popatrz na podciąg \(\displaystyle{ b_{2n}}\) i \(\displaystyle{ b_{2n+1}}\) - zachowują się one inaczej, a granica musi być jedna, o ile w ogóle istnieje.

Widzę, że pierwszy przykład jednak inaczej wyglądał, no to Twoje rozumowanie jest OK.
Można też jakoś oszacować, ale to podejście, które zaproponowałaś jest prostsze. Nie chce mi się rozpisywać. Spytam więc tylko: czy wiesz, czemu jeśli
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| <1}\), to ciąg \(\displaystyle{ (a_n)}\) jest zbieżny do \(\displaystyle{ 0}\)? Jeśli tak, to nie ma co wydziwiać i szukać innego rozwiązania.

karmelowyzuk
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 5 lis 2017, o 22:47
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Lublin
Podziękował: 2 razy

Obliczyć granicę lub wykazać, że ona nie istnieje

Post autor: karmelowyzuk » 5 lis 2017, o 23:51

Dzięki Premislav. W pierwszym przykładzie chodziło mi o tą drugą granicę, problemy z przepisywaniem przykładów Już edytowany. Nie do końca wiem dlaczego granica ciagu \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest wtedy równa 0. Spróbuję się nad tym zastanowić.
Czyli w 3 przykładzie granica jest równa 1?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Obliczyć granicę lub wykazać, że ona nie istnieje

Post autor: Premislav » 6 lis 2017, o 00:14

No to się jednak rozpisałem.
[quote="karmelowyzuk"]Nie do końca wiem dlaczego granica ciagu \(\displaystyle{ a_{n}}\) jest wtedy równa 0.
[/quote]
OK, przyjrzyjmy się temu pokrótce. Jeśli ktoś zna podstawy teorii związanej z szeregami liczbowymi, niektóre kryteria zbieżności itd. to można powiedzieć, że skoro
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=g \in [0,1)}\), to szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }a_n}\) jest bezwzględnie zbieżny (a więc i zbieżny) na mocy kryterium d'Alemeberta zbieżności szeregów, zatem spełnia warunek konieczny zbieżności szeregu, tj. \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=0}\).

Jednak można to też wytłumaczyć bez odnoszenia się do szeregów liczbowych:
na początek odnotujmy, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }a_n=0 \Leftrightarrow \lim_{n \to \infty }|a_n|=0}\), więc możemy w dowodzie ograniczyć się do ciągów o wyrazach wyłącznie dodatniach
(bo \(\displaystyle{ \left| \frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \frac{|a_{n+1}|}{|a_n|}}\) itd.).
Niech więc \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzie ciągiem o wyrazach dodatnich i niech \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} =g \in [0,1)}\)
Weźmy dowolną liczbę \(\displaystyle{ q \in \left( g,1\right)}\). Wówczas, skoro \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{a_{n+1}}{a_n} =g \in [0,1)}\), to z definicji granicy istnieje takie \(\displaystyle{ n_q}\), że dla wszystkich \(\displaystyle{ n \in \NN}\) nie mniejszych od \(\displaystyle{ n_q}\) mamy \(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n} <q}\). Niech więc \(\displaystyle{ n>n_q}\). Dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac{a_{n_q+1}}{a_{n_q}}<q\\ \frac{a_{n_q+2}}{a_{n_q+1}}<q\\ \ldots\\ \frac{a_n}{a_{n-1}}<q}\)
Mnożąc stronami tych \(\displaystyle{ n-n_q}\) nierówności, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ \frac{a_n}{a_{n_q}} \le q^{n-n_q}}\)
czyli
\(\displaystyle{ 0<a_n \le a_{n_q}\cdot q^{n-n_q}}\),
teraz (\(\displaystyle{ n_q}\) jest wciąż tym samym ustalonym, dobranym do \(\displaystyle{ q \in (0,1)}\))
przechodząc z \(\displaystyle{ n}\) do\(\displaystyle{ \infty}\) i stosując twierdzenie o trzech ciągach, mamy
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n=0}\),
bo oczywiście \(\displaystyle{ a_{n_q}}\) ustalone, zaś \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }q^n=0}\) dla każdego \(\displaystyle{ q\in(0,1)}\).

[quote]Czyli w 3 przykładzie granica jest równa 1? :o[/quote]
Zgadza się.

ODPOWIEDZ