Wielomian 3 stopnia

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
byeer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mieszczów
Podziękował: 8 razy

Wielomian 3 stopnia

Post autor: byeer » 23 wrz 2007, o 16:37

Witam, a oto tresc zadania:

Dana jest funkcja: \(\displaystyle{ f(x)=x^3-px^2+5x-2}\)

Znajdz wartosc \(\displaystyle{ p}\) , dla ktorej funkcja \(\displaystyle{ f}\) osiąga minimum w punkcie \(\displaystyle{ x=5}\)

Z gory dziekuję.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Wielomian 3 stopnia

Post autor: soku11 » 23 wrz 2007, o 16:47

\(\displaystyle{ f'(5)=0\ \wedge\ f''(5)>0\\
f'(x)=3x^2-2px+5\\
f'(5)=80-10p=10(8-p)\\
10(8-p)=0\ \iff\ p=8\\
f''(x)=6x-2p\\
f''(5)=30-2p\ \ p=8\ \ f''(5)=30-16=14\\
p=8}\)


POZDRO

byeer
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 36
Rejestracja: 5 wrz 2007, o 17:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Mieszczów
Podziękował: 8 razy

Wielomian 3 stopnia

Post autor: byeer » 23 wrz 2007, o 16:50

dlaczego minimum to akurat 0?

Awatar użytkownika
JHN
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 559
Rejestracja: 8 lip 2007, o 18:09
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 5 razy
Pomógł: 170 razy

Wielomian 3 stopnia

Post autor: JHN » 23 wrz 2007, o 16:50

Ponieważ \(\displaystyle{ f'(x)=3x^2-2px+5}\) w rzeczywistej dziedzinie i treścią zadania narzucone jest \(\displaystyle{ f'(5)=0}\), to blisko jest do \(\displaystyle{ p=8}\). Rozwiązanie to wymaga jednakże sprawdzenia, czy rzeczywiście znajdziemy tam ekstremum a dokładniej minimum.
Pozdrawiam

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

Wielomian 3 stopnia

Post autor: soku11 » 23 wrz 2007, o 16:54

Przyrownanie pochodnej do zera okresla samo istnienie ekstremum. Aby okreslic jego znak trzeba zbadac druga pochodna (przebieg pierwszej pochodnej). Jesli w unkcie 5 istnieje jakies ekstremum, a druga pochodna mowi, ze pierwsza pochodna rosnie, to w tym punkcie jest minimum (pochodna zmienia znak z - na +).

POZDRO

ODPOWIEDZ