Granica z funkcjami trygonometrycznymi

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
Cassandra19x
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 23 sie 2016, o 00:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 4 razy

Granica z funkcjami trygonometrycznymi

Post autor: Cassandra19x » 5 lis 2017, o 19:21

Cześć, mam do policzenia granicę:

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 5} \frac{\tg ( x^{2}-7x+10)}{\sin ( x^{2}-4x-5)}}\)

Dostajemy symbol nieoznaczony (0 przez 0), więc trzeba wyrażenie jakoś rozłożyć i tutaj mam problem.
Na razie zapisałam wyrażenia wewnątrz funkcji trygonometrycznych w postaci iloczynowej, jednak nie mam pomysłu jak coś tutaj "skrócić" (a przydałoby się (x-5)). Wiem, że dałoby się zapisać inaczej tangens, ale raczej nie pomaga mi to rozwiązać problemu

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7895
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3093 razy

Granica z funkcjami trygonometrycznymi

Post autor: kerajs » 5 lis 2017, o 19:38

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 5} \frac{\tg ( x^{2}-7x+10)}{\sin ( x^{2}-4x-5)}=\left[ t=x-5\right]= \lim_{t \to 0} \frac{\tg t(t+3)}{\sin t(t+6)}=\\=\lim_{t \to 0} \frac{\frac{\tg t(t+3)}{ t(t+3)} \cdot t(t+3)}{\frac{\sin t(t+6)}{ t(t+6)} \cdot t(t+6)}=\lim_{t \to 0} \frac{\frac{\tg t(t+3)}{ t(t+3)} \cdot (t+3)}{\frac{\sin t(t+6)}{ t(t+6)} \cdot (t+6)}=\\= \frac{1 \cdot (0+3)}{1 \cdot (0+6)}= \frac{1}{2}}\)

lub szybciej z reguły de l'Hopitala.

ODPOWIEDZ