Obliczenia na ułamkach zwykłych

[adamk]

Obliczyć:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1*4} + \frac{1}{4*7} + \frac{1}{7*10} + ... + \frac{1}{97*100}}\)



Jeśli w ogóle można to prosiłbym o rozwiązanie
bez stosowania ciągów liczbowych.

[Piotr Rutkowski]

Łatwo udowodnić indukcyjnie, że:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1*4}+\frac{1}{4*7}+...+\frac{1}{(3n+1)(3n+4)}=\frac{n+1}{3n+4}}\), ups, 4racja, wkradła się mały błąd, zapomniałem, że należy rozpocząć od n=0 czyli ostatecznie stosując tutaj to będzie wychodziło tak jak napisał mostostalek czyli dla tego szczególnego przypadku suma jest równa \(\displaystyle{ \frac{33}{100}}\)

[mostostalek]

\(\displaystyle{ \frac{1}{1*4} + \frac{1}{4*7} + \frac{1}{7*10} + ... + \frac{1}{97*100}=\frac{1}{3}(\frac{3}{1*4} + \frac{3}{4*7} + \frac{3}{7*10} + ... + \frac{3}{97*100})=\frac{1}{3}(\frac{4-1}{1*4} + \frac{7-4}{4*7} + \frac{10-7}{7*10} + ... + \frac{100-97}{97*100})=\frac{1}{3}(\frac{4}{1*4}-\frac{1}{1*4} + \frac{7}{4*7}-\frac{4}{7*4} + \frac{10}{7*10}-\frac{7}{7*10} + ... + \frac{100}{97*100}-\frac{97}{97*100})=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{4}+\frac{1}{4}-\frac{1}{7}+\frac{1}{7}-\frac{1}{10}+...+\frac{1}{97}-\frac{1}{100})=\frac{1}{3}(1-\frac{1}{100})=\frac{33}{100}}\)

[adamk]

Dzięki dla Was obu