Granica ciągu a metryka

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
varth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 5 lis 2017, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Granica ciągu a metryka

Post autor: varth » 5 lis 2017, o 18:39

Możliwe jest aby ciąg \(\displaystyle{ \frac{1}{n}}\) był zbieżny do \(\displaystyle{ C}\) w przestrzeni \(\displaystyle{ [0,C] (C>0)}\) przy odpowiedniej metryce? Jeśli tak, to jaka to metryka?

Awatar użytkownika
Takahashi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 186
Rejestracja: 12 maja 2017, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 22 razy

Re: Granica ciągu a metryka

Post autor: Takahashi » 5 lis 2017, o 18:42

Tak, jest to obraz euklidesowej przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ [0,C]}\) względem nieciągłego odwzorowania, które zamienia punkty \(\displaystyle{ 0}\), \(\displaystyle{ C}\) miejscami.

varth
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 5 lis 2017, o 18:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk

Granica ciągu a metryka

Post autor: varth » 5 lis 2017, o 18:58

I wtedy \(\displaystyle{ d(x,y)=d_e(x,y)}\) dla \(\displaystyle{ x,y}\) różnych od \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ C}\), \(\displaystyle{ d(0,x)=d_e(C,x)}\), \(\displaystyle{ d(C,x)=d_e(0,x)}\), \(\displaystyle{ d(0,C)=C}\), gdzie \(\displaystyle{ d_e}\) to metryka euklidesowa?

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9419
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2071 razy

Re: Granica ciągu a metryka

Post autor: Dasio11 » 6 lis 2017, o 09:58

Tak.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Granica ciągu a metryka

Post autor: leg14 » 10 lis 2017, o 00:35

A nie chodziło o to, żeby topologia się nie zmieniła? Inaczej pytanie nie ma sensu, bo z ,,przestrzeni" zostaje zbiór, czyli de facto jedynie jego moc.

Awatar użytkownika
Takahashi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 186
Rejestracja: 12 maja 2017, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 22 razy

Re: Granica ciągu a metryka

Post autor: Takahashi » 10 lis 2017, o 21:11

Dwie metryki uznajemy za równoważne, wtedy i tylko wtedy jeśli wprowadzają tę samą metrykę - zatem podejrzewam, że nie.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19182
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3243 razy

Re: Granica ciągu a metryka

Post autor: a4karo » 10 lis 2017, o 21:40

Takahashi pisze:Dwie metryki uznajemy za równoważne, wtedy i tylko wtedy jeśli wprowadzają tę samą metrykę - zatem podejrzewam, że nie.
To brzmi jak masło maślane

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Granica ciągu a metryka

Post autor: Premislav » 10 lis 2017, o 22:11

Chodziło pewnie o tę samą topologię.<Sherlock>

Awatar użytkownika
Takahashi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 186
Rejestracja: 12 maja 2017, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 22 razy

Re: Granica ciągu a metryka

Post autor: Takahashi » 10 lis 2017, o 22:35

Topologię, czyli zbieżność - dokładnie tak.

ODPOWIEDZ