Granica sinusa

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Maciek414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 4 lip 2017, o 13:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Granica sinusa

Post autor: Maciek414 » 5 lis 2017, o 16:41

Hej, mam udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(n\right)\right)}\) nie istnieje.
Mam z tym spory problem. Czy to co udało mi się tu wyłuskać jest poprawnym dowodem?
\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(n\right)\right)=g \\ -1 \le g \le 1 \\ \lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(2n\right)\right)=g \\ \lim _{n\to \infty }\left(2\sin \left(n\right)\cos \left(n\right)\right)=g \\ 2g\cdot \lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)=g\\ g\left(2\cdot \lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)-1\right)=0\\ g=0\:\:\:\:\:\:\:\: \vee \:\lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)= \frac{1}{2}\\ 1^{\circ } \:\lim _{n\to \infty }\left(\cos \left(n\right)\right)= \frac{1}{2}\\ g^2=\lim _{n\to \infty }\left(\sin ^2\left(n\right)\right)=\lim _{n\to \infty }\left(1-\cos ^2\left(n\right)\right) \\ g^2=\frac{3}{4}\\ g= \frac{ \sqrt{3}}{2} \vee g= -\frac{ \sqrt{3}}{2}}\)
zarówno pierwsza jak i druga możliwość nie należy do dziedziny

\(\displaystyle{ 2^{\circ } g=0\\ \lim _{n\to \infty }\left(1-\cos ^2n\right)=g^2=0\\ \lim _{n\to \infty }\left(\cos ^2n\right)=1\\ \lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=1 \vee \lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=-1\\ g=\lim _{n\to \infty }\left(\sin \left(n+1\right)\right)=\lim _{n\to \infty } \left(\sin \left(n\right)\cos \left(1\right)+\cos \left(n\right)\sin \left(1\right)\right)\\}\)
ponieważ w tym przypadku g ma być równe 0 więc:
\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(\cos n\cdot \sin 1\right)=0\\ 1^{\circ } \lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=1\\ \lim _{n\to \infty }\left(\sin 1\right)=0\\ \sin 1 \neq 0\\\\ 2^{\circ }\lim _{n\to \infty }\left(\cos n\right)=-1\\ -\lim _{n\to \infty }\left(\sin 1\right)=0\\ -\sin 1 \neq 0}\)

Z góry dzięki!
Ostatnio zmieniony 5 lis 2017, o 16:58 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15211
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Granica sinusa

Post autor: Premislav » 5 lis 2017, o 16:55

\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(2sin\left(n\right)cos\left(n\right)\right)=g \\ 2g\cdot \lim _{n\to \infty }\left(cos\left(n\right)\right)=g}\)
Ten fragment jest trochę śliski, gdyż nic nie zakładamy powyżej na temat istnienia/nieistnienia \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\cos n}\).
Ponadto mamy jeszcze nieścisłość:
Maciek414 pisze:zarówno pierwsza jak i druga możliwość nie należy do dziedziny
Co proszę? Trzeba to inaczej sformułować.
\(\displaystyle{ \lim _{n\to \infty }\left(cos^2n\right)=1\\ \lim _{n\to \infty }\left(cosn\right)=1 \vee \lim _{n\to \infty }\left(cosn\right)=-1}\)
No tutaj to już na pewno błąd: z tego, że \(\displaystyle{ a_n^2 \rightarrow a}\) nie wynika nawet, że istnieje
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } a_n}\), rozważ \(\displaystyle{ a_n=(-1)^n}\).
Ogólnie jakiś zamysł w tym jest, ale dużo rzeczy trzeba doszlifować lub w ogóle inaczej napisać.

Przypomniało mi się też inne uzasadnienie:
dla każdego \(\displaystyle{ k \in \NN}\) przedział \(\displaystyle{ \left[ \frac \pi 4+2k\pi, \frac 3 4 \pi+2k\pi\right]}\)
ma długość \(\displaystyle{ \frac{\pi}{2}>1}\), więc do każdego takiego przedziału należy pewna liczba całkowita (a nawet naturalna). Oczywiście takich przedziałów jest nieskończenie wiele, ponadto dla \(\displaystyle{ x \in\left[ \frac \pi 4+2k\pi, \frac 3 4 \pi+2k\pi\right]}\) jest \(\displaystyle{ \sin x\ge \frac{1}{\sqrt{2}}}\)
Analogicznie każdy przedział postaci \(\displaystyle{ \left[ \frac 5 4 \pi+2k\pi, \frac 7 4 \pi+2k\pi\right]}\), gdzie \(\displaystyle{ k\in \NN^+}\) jest długości \(\displaystyle{ \frac \pi 2>1}\), więc do każdego takiego przedziału należy pewna liczba naturalna. Ponadto takich przedziałów też jest nieskończenie wiele i w każdym jednym mamy \(\displaystyle{ \sin x \le -\frac{1}{\sqrt{2}}}\). Wnioski raczej jasne.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Granica sinusa

Post autor: szw1710 » 5 lis 2017, o 16:56

Hej, mam udowodnić, że \(\displaystyle{ \lim\limits_{n\to \infty }\sin n}\) nie istnieje.
Analogiczne zadanie z cosinusem jest w tym wpisie z mojego bloga: http://byc-matematykiem.pl/jak-zostalem ... -czesc-ii/ Można się wzorować robiąc sinusa.
Ostatnio zmieniony 5 lis 2017, o 16:59 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ