Czy dobrze obliczam przedział ufności?

Procesy stochastyczne. Sposoby racjonalizowania wielkich ilości informacji. Matematyka w naukach społecznych.
ReallyGrid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Quillrabe
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Czy dobrze obliczam przedział ufności?

Post autor: ReallyGrid » 5 lis 2017, o 14:51

Zadanie jest takie:
Badania dotyczą rozpiętości skrzydeł pewnego gatunku kolibrów. Dla próbki \(\displaystyle{ N=38}\) ptaków, średnia i wariancja dane są odpowiednio: \(\displaystyle{ \bar{x}=10{,}3}\) cm, \(\displaystyle{ s^2=4{,}1}\) cm.

a) Skonstruuj 95% przedział ufności dla średniej populacji.

Robię to tak: Najpierw obliczam odchylenie standardowe czyli pierwiastek z wariancji:
\(\displaystyle{ \sigma = \sqrt{s^2} = \sqrt{4{,}1},}\)
a następnie ze wzoru na przedział ufności:
\(\displaystyle{ \left[\bar{x} - Z_{95} \frac{\sigma}{\sqrt{N}}, \bar{x} + Z_{95} \frac{\sigma}{\sqrt{N}}\right],}\)
gdzie \(\displaystyle{ Z_{95}}\) odczytujemy z tablic (\(\displaystyle{ Z_{95} = 1{,}960}\)). Czyli mam:
\(\displaystyle{ \left[10{,}3 - 1{,}960 \frac{\sqrt{4{,}1}}{\sqrt{38}}, 10{,}3 + 1{,}960 \frac{\sqrt{4{,}1}}{\sqrt{38}}\right] = [9{,}6562, 10{,}9438].}\)
Dobrze?

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Czy dobrze obliczam przedział ufności?

Post autor: szw1710 » 5 lis 2017, o 16:48

Obliczenia na tak małej próbie można prowadzić jedynie, gdy rozkład cechy jest normalny i to trzeba założyć. Nie masz bowiem konkretnych danych, które można przetestować pod kątem normalności rozkładu. Zakładając więc, że rozkład rozpiętości skrzydeł jest normalny, postępujemy jak poniżej.

Nie jest dane odchylenie standardowe \(\displaystyle{ \sigma}\) w rozkładzie dokładnym. Dlatego statystyka testowa ma rozkład \(\displaystyle{ t}\)-Studenta z \(\displaystyle{ N-1}\) stopniami swobody. Dlatego należy zastosować inne wzory:

\(\displaystyle{ \bar{x}\pm t_{0.05;N-1}\frac{s}{\sqrt{N-1}}.}\)

Statystycy powiadają, że jeśli \(\displaystyle{ N>30}\), to zamiast rozkładu \(\displaystyle{ t}\)-Studenta można stosować rozkład normalny i podmienić kwantyl \(\displaystyle{ t_{0.05;N-1}=t_{0.05;37}=2.026192}\) przez \(\displaystyle{ Z_{95}=1.959964}\) (dokładniejsze wartości tych kwantyli wziąłem z funkcji programu R).

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Czy dobrze obliczam przedział ufności?

Post autor: janusz47 » 5 lis 2017, o 17:00

Podaj interpretację tego przedziału ufności.

Myślę że próbę \(\displaystyle{ n =38> 30}\) kolibrów można uważać za dużą.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Czy dobrze obliczam przedział ufności?

Post autor: szw1710 » 5 lis 2017, o 17:06

janusz47 pisze:Podaj interpretację tego przedziału ufności.

Myślę że próbę \(\displaystyle{ n =38> 30}\) kolibrów można uważać za dużą.
Bo tak proponują statystycy. Jestem jednak zdania, że jeśli się da, stosujmy właściwy rozkład. Oczywiście liczbowo nie ma o co szat rozdzierać. Ale obecnie bardzo dobre tablice rozkładów są w arkuszach kalkulacyjnych. Spokojnie ten kwantyl można wydobyć.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Czy dobrze obliczam przedział ufności?

Post autor: SlotaWoj » 5 lis 2017, o 17:29

To czy liczebność\(\displaystyle{ N=38}\) jest duża czy małą jest sprawą umowną.

Ze względu na rozmaitość „konstrukcji” używanych tablic rozkładów ważniejsze jest, moim zdaniem, zrozumienie czym jest odczytywane z tablic \(\displaystyle{ Z_{\text{gr}}}\). Ponieważ masz poziom ufności \(\displaystyle{ 95\,\%=1-\alpha}\) , to dla rozkładu normalnego i symetrycznego przedziału ufności będzie:
  • \(\displaystyle{ Z_{\text{gr}}=\Phi_{0;1}^{-1}\left({\red{1-\frac{\alpha}{2}}}\right)=\Phi_{0;1}^{-1}({\red{0,975}})=1,959964}\)
gdzie: \(\displaystyle{ \Phi_{0;1}(x)}\) jest dystrybuantą standardowego rozkładu normalnego \(\displaystyle{ \NN(0;1)}\) .

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Czy dobrze obliczam przedział ufności?

Post autor: janusz47 » 5 lis 2017, o 17:45

W dobie dokładnie opracowanych tablic, arkuszy kalkulacyjnych, programu R, czy innych programów matematycznych - wyznaczanie kwantyli odpowiedniego rzędu dla jedno czy dwustronnych przedziałów ufności nie jest problemem.

Uważam, że większym problemem jest dobór odpowiedniego przedziału ufności i jego właściwa interpretacja.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Re: Czy dobrze obliczam przedział ufności?

Post autor: SlotaWoj » 5 lis 2017, o 18:07

@Janusz47
Nie zrozumiałeś. To nie jest kwestia dokładności, ale świadomości tego, co zawierają tablice lub co program oblicza.

Np. są takie tablice, gdzie jest „połowa” (że tak to określę) dystrybuanty. Również opisy pewnych funkcji statystycznych w Excelu są tak mętne, że niedoświadczony użytkownik łatwo się może „wyłożyć”.

ReallyGrid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Quillrabe
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Czy dobrze obliczam przedział ufności?

Post autor: ReallyGrid » 5 lis 2017, o 19:16

No właśnie ja też muszę to obliczyć w R Studio.

Moje \(\displaystyle{ Z_{95}}\) też wyliczam z qnorm. Cały mój kod wygląda tak:

Kod: Zaznacz cały

# dane
Q1.N        <- 38            # rozmiar probki
Q1.mean     <- 10.3          # srednia arytmetyczna probki
Q1.var      <- 4.1           # variancja
# dalsze obliczenia
Q1.sd       <- sqrt(Q1.var)  # odchylenie standardowe
Q1.z        <- qnorm(.975)   # wartosc Z95
Q1.mean - Q1.sd*Q1.z/sqrt(Q1.N)
Q1.mean + Q1.sd*Q1.z/sqrt(Q1.N)
Ostatnio zmieniony 5 lis 2017, o 19:31 przez ReallyGrid, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Czy dobrze obliczam przedział ufności?

Post autor: szw1710 » 5 lis 2017, o 19:20

Takie obliczenia zrobisz wszędzie. Nie neguję tego co napisałeś, ale te obliczenia tak samo zrobisz na kalkulatorze. Jedyna siła R w tym kodzie to wyznaczenie kwantyla funkcją qnorm(0.975) Program R ma wartość, jeśli dysponujesz prawdziwymi danymi. Masz je? Podaj, a pokażę Ci jak tej analizy dokonać.

ReallyGrid
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 18 wrz 2012, o 08:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Quillrabe
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 1 raz

Re: Czy dobrze obliczam przedział ufności?

Post autor: ReallyGrid » 5 lis 2017, o 19:33

Mam tylko to co napisałem w pierwszym poście. Takie jest po prostu zadanie. Ale jeśli obliczenia są w porządku to ok Dzięki, w ogóle nie rozumiem tej statystyki.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Czy dobrze obliczam przedział ufności?

Post autor: szw1710 » 5 lis 2017, o 19:35

Nie jest aż tak źle. Coś jednak zrobiłeś i to w dobrym kierunku. Nie dołuj się tak.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Czy dobrze obliczam przedział ufności?

Post autor: janusz47 » 5 lis 2017, o 20:09

Program R

Kod: Zaznacz cały

> alpha = 1 -0.95
> zalpha = qnorm(1 - alpha/2)
> zalpha
[1] 1.959964

Interpretacja otrzymanego przedziału ufności

Z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 0,95}\) należy oczekiwać, że przedział ufności o końcach \(\displaystyle{ 9,6mm ; 10,7mm}\) należy do podzbioru tych przedziałów ufności, które pokryją wartość oczekiwaną długość rozpietości skrzydła pewnego gatunku kolibrów, a nie tylko ich \(\displaystyle{ 38}\) elementowej próby.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: Czy dobrze obliczam przedział ufności?

Post autor: szw1710 » 5 lis 2017, o 20:30

Ja napisałbym tak, że prawdopodobieństwo tego, że rzeczywista średnia rozpiętość skrzydeł należy do wyznaczonego przedziału ufności z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ 95\%}\).
Ukryta treść:    

ODPOWIEDZ