Dowodzenie podzielności wyrazenia

Podzielność. Reszty z dzielenia. Kongruencje. Systemy pozycyjne. Równania diofantyczne. Liczby pierwsze i względnie pierwsze. NWW i NWD.
Biel124
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 28 wrz 2017, o 18:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 2 razy

Dowodzenie podzielności wyrazenia

Post autor: Biel124 » 5 lis 2017, o 12:19

Jeśli \(\displaystyle{ a,b,c,d}\) są naturalne i \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2} | c^{2} + d^{2}}\), udowodnij, że suma dwóch losowo wybranych z następujących jednomianów: \(\displaystyle{ a^{2} c^{2} , a^{2} d^{2} , b^{2} c^{2} , b^{2} d^{2}}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ a^{2} + b^{2}}\). (można dwa razy wylosować ten sam jednomian)
Ostatnio zmieniony 5 lis 2017, o 14:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Dowodzenie podzielności wyrazenia

Post autor: PoweredDragon » 5 lis 2017, o 12:34

Powiedzmy, że

\(\displaystyle{ c^2+d^2 = k(a^2+b^2)}\)

Zatem mamy:

\(\displaystyle{ a^2 = \frac{c^2+d^2-kb^2}{k}}\)
\(\displaystyle{ a^2 c^2 =\frac{c^4+c^2 d^2-kb^2 c^2}{k}}\)
\(\displaystyle{ a^2 d^2 + a^2 c^2 = \frac{c^4+2c^2 d^2+d^4 - kb^2 (c^2+d^2)}{k} = \frac{(c^2+d^2)(c^2+d^2-kb^2)}{k} = (a^2+b^2)(c^2+d^2-kb^2)}\)
Analogicznie można zrobić, jak mniemam, inne przykłady. Nie znalazłem bardziej eleganckiego sposobu :c

ODPOWIEDZ