Granic z e, dwa ciągi

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 802
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 43 razy

Granic z e, dwa ciągi

Post autor: Milczek » 4 lis 2017, o 23:24

Rozmyślania sprowadziły mnie do pewnego zadania które jest uogólnieniem innego(prawdziwego, więc liczę także tutaj, na pomyślny wynik) , a treść którą chcę przedstawić jest następująca :
Weźmy dwa ciągi \(\displaystyle{ (a_{n}),(b_{n})}\) które dla \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\) są jednocześnie :
\(\displaystyle{ (a_{n}),(b_{n}) \rightarrow \pm \infty}\).

Czy prawdą jest że : \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{(a_{n})}\right)^{(b_{n})}=e}\) ?

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27305
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4597 razy

Re: Granic z e, dwa ciągi

Post autor: Jan Kraszewski » 4 lis 2017, o 23:30

W żadnym wypadku. Policz sobie granicę

\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}.}\)

JK

Milczek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 802
Rejestracja: 22 lut 2013, o 19:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 82 razy
Pomógł: 43 razy

Re: Granic z e, dwa ciągi

Post autor: Milczek » 4 lis 2017, o 23:45

Racja, bezmyślna teza.

Zasugerowałem się tym że gdy mamy \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} (a_{n})= \pm \infty}\) to zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{(a_{n})}\right)^{(a_{n})}=e}\)

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9432
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2072 razy

Re: Granic z e, dwa ciągi

Post autor: Dasio11 » 5 lis 2017, o 12:59

Ale nietrudno pokazać, że jeśli dodatkowo

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{b_n}{a_n} = \alpha,}\)

to

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \left(1+\frac{1}{a_n}\right)^{b_n} = e^{\alpha}.}\)

Czyli liczy się wyłącznie to, jak szybko względem siebie rosną (lub maleją) te ciągi.

ODPOWIEDZ