Jak oblicyś całke z parametrem

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
6234945
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 2 wrz 2017, o 15:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

Jak oblicyś całke z parametrem

Post autor: 6234945 » 4 lis 2017, o 22:29

Witam,
wie ktoś może jak zabrać się do policzenia tej całki? Z góry dziękuje
\(\displaystyle{ \int_{( \frac{a+1}{2} )}^{0} \sqrt{x(2a+1-x} dx}\)
Ostatnio zmieniony 4 lis 2017, o 22:53 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Jak oblicyś całke z parametrem

Post autor: Premislav » 4 lis 2017, o 23:12

Całkowanie różniczki dwumiennej:
33970.htm

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19182
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3243 razy

Re: Jak oblicyś całke z parametrem

Post autor: a4karo » 5 lis 2017, o 02:38

Ta całka jest pewnie banalna, ale będzie lepiej, gdy uzupełnisz nawiasy. Wygląda na to jednak, że Premislav wyciągnął zbyt duże działo.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Jak oblicyś całke z parametrem

Post autor: Premislav » 5 lis 2017, o 02:59

A to działo nie działa? Jeśli jednak działa, to nie jest zbyt duże (oczywiście można uznać to za przerost formy nad treścią czy niepotrzebne kombinowanie, ale to kwestia gustu). Po co użerać się z wymyślaniem jakichś szczególnych przypadków.

Można też podstawieniem trygonometrycznym:
gdy mamy całkę typu
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \sqrt{bx-ax^2}\,\dd x}\), gdzie \(\displaystyle{ a>0, \ b\neq 0}\), to możemy zapisać
\(\displaystyle{ bx-ax^2=a\left( \frac b a x-x^2\right)= \frac{b^2}{4a} -a\left( x-\frac{b}{2a}\right)^2}\)
i podstawić \(\displaystyle{ x-\frac{b}{2a}=\frac{b}{2a}\sin t}\), czy coś w tym stylu.

Awatar użytkownika
mariuszm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6754
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Pomógł: 1224 razy

Re: Jak oblicyś całke z parametrem

Post autor: mariuszm » 8 lis 2017, o 03:46

Wystarczy całkowanie przez części

Z podstawienia Eulera mielibyśmy

\(\displaystyle{ \int{\sqrt{bx-ax^2}\mbox{d}x}\\ \sqrt{bx-ax^2}=xt\\ bx-ax^2=x^2t^2\\ b-ax=xt^2\\ b=ax+xt^2\\ b=x\left( a+t^2\right)\\ x=\frac{b}{a+t^2} \\ xt=\frac{bt}{a+t^2}\\ \mbox{d}x=\frac{0 \cdot \left( a+t^2\right)-2bt }{\left( a+t^2\right)^2 } \mbox{d}t\\ \mbox{d}x=-\frac{2bt}{\left( a+t^2\right)^2} \mbox{d}t\\ -\int{\frac{bt}{a+t^2} \cdot \frac{2bt}{\left( a+t^2\right)^2} \mbox{d}t}\\ -\int{\frac{2b^2t^2}{\left( a+t^2\right)^3} \mbox{d}t}\\}\)

ODPOWIEDZ