supremum iloczynu zbiorów

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

supremum iloczynu zbiorów

Post autor: Julian1998 » 4 lis 2017, o 20:33

Pokazać, że jeśli \(\displaystyle{ A,B \subset \RR}\) są ograniczone, \(\displaystyle{ A,B \subset \left[ 0,+ \infty \right]}\), to:

\(\displaystyle{ \sup \left( A \cdot B\right)=\left( \sup A\right) \cdot \left( \sup B\right)}\).
Ostatnio zmieniony 4 lis 2017, o 21:29 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Symbol mnożenia to \cdot. Temat umieszczony w złym dziale.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

supremum iloczynu zbiorów

Post autor: szw1710 » 4 lis 2017, o 21:15

A co umiesz w tej kwestii zrobić?

Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

supremum iloczynu zbiorów

Post autor: Julian1998 » 4 lis 2017, o 22:01

Wiem jak z definicji napisać \(\displaystyle{ \sup A}\) i \(\displaystyle{ \sup B}\), ale później nie wiem jak zrobić aby oba były równe.
Zrobiłem już przykłady z \(\displaystyle{ \sup A+\sup B}\), mnożenie \(\displaystyle{ \sup A}\) przez skalar i przypadek z \(\displaystyle{ \sup A \cup \sup B}\).
Trzeba było w nich dowieźć rzeczy podobne.
Jednak tego przykładu nie potrafię zrobić, nie wiem jak się zabrac, proszę o wykonanie w całości tego dowodu.
Ostatnio zmieniony 4 lis 2017, o 22:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: supremum iloczynu zbiorów

Post autor: szw1710 » 4 lis 2017, o 22:08

Niech \(\displaystyle{ a\in A, b\in B}\). Wtedy \(\displaystyle{ a\le\sup A}\) oraz \(\displaystyle{ b\le\sup B}\). Więc \(\displaystyle{ ab\le\sup A\sup B}\). To prosta część. Druga jest równie prosta. Przechodzimy po lewej stronie do supremum wobec dowolności wyboru \(\displaystyle{ a,b}\).

Nad drugą nierównością zastanów się sam.

Julian1998
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 25
Rejestracja: 22 sie 2017, o 10:41
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 9 razy

supremum iloczynu zbiorów

Post autor: Julian1998 » 4 lis 2017, o 23:39

Nie wiem jak zrobić naprawdę.
Proszę jeśli możesz wykonaj cały dowód, będę bardzo wdzięczny.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

Re: supremum iloczynu zbiorów

Post autor: szw1710 » 5 lis 2017, o 00:08

Nie zrobię tego, bo to demoralizuje i niczego się nie nauczysz. Naszą misją nie jest odrabianie zadań domowych.

W poprzedniej odpowiedzi dałem \(\displaystyle{ 90\%}\) gotowca pokazującego nierówność \(\displaystyle{ \sup(A\cdot B)\le\sup A\cdot\sup B.}\) Dokończ to - wystarczy pół zdania.

Poczytaj o własnościach kresów zbiorów i spróbuj samodzielnie. Tylko wtedy możesz liczyć na pomoc.

ODPOWIEDZ