Granica funkcji z de l'Hospitala.

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
arabv
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4
Rejestracja: 10 paź 2016, o 18:52
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Granica funkcji z de l'Hospitala.

Post autor: arabv » 4 lis 2017, o 19:23

\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty }\left[ x-x^{2} \cdot \ln \left( 1+ \frac{1}{x} \right) \right]}\)

Dzieliłem przez \(\displaystyle{ \frac{1}{x ^{2} }}\) - nie wychodzi. Rozbijałem na różnicę granic - nie wychodzi. Od wczoraj nie mogę nic wymyśleć, jakiś pomysł? Wynik \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\) .
Ostatnio zmieniony 4 lis 2017, o 19:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: To był markiz de l'Hospital. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19193
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3244 razy

Granica funkcji z de l'Hospitala.

Post autor: a4karo » 4 lis 2017, o 19:51

Może się przydać fakt, że \(\displaystyle{ x=\ln e^x}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Granica funkcji z de l'Hospitala.

Post autor: Premislav » 4 lis 2017, o 19:57

Można również udowodnić nierówności:
\(\displaystyle{ t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3} \ge \ln\left( 1+t\right) \ge t-\frac{t^2}{2}}\) dla \(\displaystyle{ t>0}\),
podstawić \(\displaystyle{ t=\frac 1 x}\) i dostajemy:
\(\displaystyle{ \frac 1 2-\frac 3 x\le x-x^2\ln\left( 1+\frac 1 x\right) \le \frac 1 2}\),
co w połączeniu z twierdzeniem o trzech funkcjach kończy rozwiązanie zadania.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Re: Granica funkcji z de l'Hospitala.

Post autor: janusz47 » 4 lis 2017, o 20:21

Podstaw:

\(\displaystyle{ t = 1 +\frac{1}{x}, \ \ x = \frac{1}{t-1} , \ \ t\rightarrow 1^{+}.}\)

i zastosuj dwukrotnie regułę H.

ODPOWIEDZ