Oznaczenia-co jest czym

[max123321]

Gradient to wiadomo, co to jest:
\(\displaystyle{ grad,f(x)=\left( \frac{ \mbox{d}f }{ \mbox{d}x_1 }(x) },\frac {\mbox{d}f}{ \mbox{d}x_2 }(x),...,} \frac{\mbox{d}f }{ \mbox{d}x_n }(x) \right)}\),
a co to jest to:
\(\displaystyle{ \left\langle grad,f(x),h\right\rangle=Df(x)h= \sum_{i=1}^{n}h_i \frac{ \mbox{d}f }{ \mbox{d}x_i }(x)}\)
i z czym to się je i do czego to?
Najlepiej jakby to ktoś obrazowo i intuicyjnie wyjaśnił co to jest.

[bartek118]

OK, po kolei. Przy ustalonym punkcie \(\displaystyle{ x \in \RR^n}\), gradient \(\displaystyle{ f}\) w punkcie \(\displaystyle{ x}\) oznaczamy \(\displaystyle{ \mathrm{grad}\, f(x)}\) lub \(\displaystyle{ \nabla f (x)}\); jest to wektor z przestrzeni \(\displaystyle{ \RR^n}\). Wyraża się on wzorem takim, jak napisałeś.

Dalej -- jeśli \(\displaystyle{ h}\)to wektor z \(\displaystyle{ \RR^n}\), to możemy obliczyć iloczyn skalarny
\(\displaystyle{ \langle \mathrm{grad}\, f(x), h \rangle = \sum_{i=1}^{n}h_i \frac{ \mbox{d}f }{ \mbox{d}x_i }(x),}\)
gdzie
\(\displaystyle{ \langle x, y \rangle = \sum_{i=1}^n x_i y_i.}\)
Teraz -- jest również takie pojęcie jak pochodna odwzorowania\(\displaystyle{ f}\)w punkcie\(\displaystyle{ x}\); oznaczana zwykle \(\displaystyle{ Df(x)}\). \(\displaystyle{ Df(x)}\) jest wtedy odwzorowaniem liniowym \(\displaystyle{ Df(x) : \RR^n \rightarrow \RR}\). Możemy zatem liczyć jego wartość na elementach \(\displaystyle{ h \in \RR^n}\). Zachodzi wówczas podany przez Ciebie wzór
\(\displaystyle{ Df(x)(h) = \langle \mathrm{grad}\, f(x), h \rangle.}\)
Jeśli \(\displaystyle{ A}\) jest odwzorowaniem liniowym, to często zamiast \(\displaystyle{ A(h)}\) piszemy po prostu \(\displaystyle{ Ah}\), stąd właśnie
\(\displaystyle{ Df(x)h = \langle \mathrm{grad}\, f(x), h \rangle.}\)


Tak na dodatek - z analizy funkcjonalnej; skoro \(\displaystyle{ \RR^n}\)jest przestrzenią Hilberta, to jest poprawnie określony izomorfizm Riesza, który odwzorowaniu liniowemu \(\displaystyle{ \RR^n \rightarrow \RR}\)przyporządkowuje wektor z \(\displaystyle{ \RR^n}\). Gradient \(\displaystyle{ \mathrm{grad}\, f(x)}\) jest niczym innym, jak wartością izomorfizmu Riesza na pochodnej \(\displaystyle{ \Df(x)}\).

[max123321]

Dobra, ale po co nam ten iloczyn skalarny, czy tam różniczka, czy jak to tam nazwać. Weźmy na przykład, że jesteśmy w \(\displaystyle{ \RR^3}\) i mamy funkcję \(\displaystyle{ \RR^3 \rightarrow \RR}\) i mam wektor \(\displaystyle{ h=(1,1,1)}\), to ta różniczka to jest jakby pochodna funkcji w kierunku \(\displaystyle{ (1,1,1)}\)?? Jak to interpretować?

[bartek118]

Pochodna w kierunku \(\displaystyle{ h}\) to właśnie \(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial h}}\), zachodzi wzór
\(\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial h} (x) = Df(x)(h) = \langle \mathrm{grad}\, f (x), h \rangle.}\)