Granica w punkcie

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
NinjagoB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 3 lis 2017, o 18:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 8 razy

Granica w punkcie

Post autor: NinjagoB » 4 lis 2017, o 17:36

Proszę o pomoc w obliczeniu granicy
\(\displaystyle{ \lim_{ x\to 0}(1+sinx) ^{ \frac{1}{x} }}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Granica w punkcie

Post autor: Premislav » 4 lis 2017, o 17:40

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} (1+\sin x)^{\frac 1 x}= \lim_{x \to 0} e^{ \frac{\ln(1+\sin x)}{x} }=\\= \lim_{x \to 0} e^{ \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} }}\)

Teraz przypomnij sobie granice specjalne:
\(\displaystyle{ \lim_{ t\to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}=1\\ \lim_{ t\to 0} \frac{\sin t}{t}=1}\)
i skorzystaj z ciągłości \(\displaystyle{ f(u)=e^u}\).

NinjagoB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 3 lis 2017, o 18:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 8 razy

Re: Granica w punkcie

Post autor: NinjagoB » 4 lis 2017, o 18:01

Premislav pisze:i skorzystaj z ciągłości \(\displaystyle{ f(u)=e^u}\).
Czyli w tym momencie nie mogę jeszcze napisać, że \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} e^{ \frac{\ln(1+\sin x)}{\sin x} \cdot \frac{\sin x}{x} } = e}\) tylko powinnam najpierw skomentować że funkcja \(\displaystyle{ e^{u}}\) jest ciągła?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Granica w punkcie

Post autor: Premislav » 4 lis 2017, o 18:34

Zapewne nie straciłabyś punktów za niewspomnienie o ciągłości odpowiedniej funkcji, niemniej jednak jest to potrzebne by uznać rozumowanie za pełne.

NinjagoB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 3 lis 2017, o 18:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 8 razy

Re: Granica w punkcie

Post autor: NinjagoB » 4 lis 2017, o 18:36

Rozumiem, dzięki za pomoc.

ODPOWIEDZ