Granica ciągu z liczbą e

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
adda16
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 49
Rejestracja: 17 paź 2017, o 13:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 25 razy

Granica ciągu z liczbą e

Post autor: adda16 » 4 lis 2017, o 13:08

Czy takie rozwiązanie jest poprawne?

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{ \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) ^{n^4} }{ \left( 3+ \frac{3}{n^4} \right) ^{n^2} }= \lim_{n \to \infty } \left( \frac{ \left( 1+ \frac{1}{n^2} \right) ^{n^2} }{3+ \frac{3}{n^4} } \right) ^{n^2}= \left[ \frac{e}{3} \right]^ \infty=0}\)

bo \(\displaystyle{ \frac{e}{3} <1}\)
Ostatnio zmieniony 4 lis 2017, o 19:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Granica ciągu z liczbą e

Post autor: leg14 » 4 lis 2017, o 13:11

nie, takich rzeczy robić nie można. Proponuję wykorzystać równość \(\displaystyle{ (1 +x)^m = e^{m \cdot \ln (1+x))}}\)
Ostatnio zmieniony 4 lis 2017, o 19:07 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Granica ciągu z liczbą e

Post autor: Premislav » 4 lis 2017, o 13:16

A ja proponuję zauważyć, że
ciąg \(\displaystyle{ a_n=\left( 1+\frac 1 n\right)^n}\) jest rosnący, zatem (ponieważ znamy, czy też raczej zdefiniowaliśmy, jego granicę)
\(\displaystyle{ \left( 1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}<e}\), a ponadto \(\displaystyle{ 3+ \frac{3}{n^4} >3}\), więc całość można oszacować z góry przez
\(\displaystyle{ \left( \frac{e}{3}\right)^{n^2}}\) (z dołu np. przez \(\displaystyle{ 0}\)) i skorzystać z twierdzenia o trzech ciągach (jak pijany kibol znajduje się między dwoma policjantami i policjanci kierują swe kroki na komisariat, to kibol też zmierza w stronę komisariatu).-- 4 lis 2017, o 14:19 --Poza tym powyżej pierwszego semestru takie skróty myślowe, jak u adda16, jak najbardziej mają zastosowanie, choć nie jest to w pełni poprawne. Ale na pierwszym semestrze trzeba się zwykle trochę naepsilonować.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9426
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2072 razy

Granica ciągu z liczbą e

Post autor: Dasio11 » 4 lis 2017, o 15:08

Jedynym nietrywialnym faktem, z którego korzysta pierwotne rozwiązanie, jest: jeśli

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} a_n = a \in (0, 1) \quad \text{oraz} \quad \lim_{n \to \infty} b_n = \infty,}\)

to

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} (a_n)^{b_n} = 0.}\)

Rozwiązanie jest więc całkowicie poprawne, jeśli tylko wolno użyć tego faktu (a jest to wysoce prawdopodobne, bo ów fakt jest blisko spokrewniony ze standardową arytmetyką granic). Ale jeśli nie, to dowodzi się go z trzech ciągów, tak jak pisze Premislav.

ODPOWIEDZ