Cztery przestrzenie fundamentalne macierzy - szukanie baz

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Cztery przestrzenie fundamentalne macierzy - szukanie baz

Post autor: Scrub » 4 lis 2017, o 13:06

Muszę znaleźć bazy takich podprzestrzeni: \(\displaystyle{ R(A), N(A), R(A^t), N(A^t)}\).

\(\displaystyle{ R(M)}\) jest podprzestrzenią generowaną przez kolumny, wymiar tej przestrzeni to rząd macierzy https://pl.wikipedia.org/wiki/Rz%C4%85d ... a_formalna
\(\displaystyle{ N(M)}\) jest podprzestrzenią rozwiązań (uzyskujemy z parametrów)

Moja macierz:
\(\displaystyle{ A = \left[\begin{array}{cccc}1&3&3&5\\2&-1&0&2\end{array}\right] \rightarrow \left[\begin{array}{cccc}1&0& \frac{3}{7} & \frac{11}{7} \\0&1& \frac{6}{7} & \frac{8}{7} \end{array}\right]}\) (czyli bazą \(\displaystyle{ R(A)}\) powinno być \(\displaystyle{ \left\{ \left[\begin{array}{c}1\\2\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}3\\-1\end{array}\right] \right\}}\)?)

I teraz mam zapisane takie rozwiązania:

bazę \(\displaystyle{ N(A)}\) stanowią wektory \(\displaystyle{ \left\{ \left[\begin{array}{c}-\frac{3}{7}\\-\frac{6}{7}\\1\\0\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}-\frac{11}{7}\\-\frac{8}{7}\\0\\1\end{array}\right] \right\}}\)

Do tego momentu rozumiem. Dalej już nie, a jest napisane, że baza \(\displaystyle{ R(A^t)}\) to \(\displaystyle{ \left\{ \left[\begin{array}{c}1&0& \frac{3}{7} & \frac{11}{7}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0&1& \frac{6}{7} & \frac{8}{7}\end{array}\right] \right\}}\)
Widać, skąd wzięły się te wektory, ale problem jest taki, że jeżeli próbuję znaleźć je zwykłym sposobem, tzn. transponuję macierz \(\displaystyle{ A}\) i ją redukuję, to mam \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\end{array}\right]}\) i stąd by wychodziło, że podprzestrzeń \(\displaystyle{ R(A^t)}\) stanowią \(\displaystyle{ \left\{ \left[\begin{array}{c}1&3& 3 & 5\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}2&-1&0 & 2\end{array}\right] \right\}}\), a \(\displaystyle{ N(A^t)}\) jest pusta.

Mógłby ktoś to objaśnić?

Awatar użytkownika
leg14
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3132
Rejestracja: 5 lis 2014, o 20:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Radom
Podziękował: 154 razy
Pomógł: 475 razy

Re: Cztery przestrzenie fundamentalne macierzy - szukanie ba

Post autor: leg14 » 9 lis 2017, o 00:32

Się zastanów może, czy \(\displaystyle{ \left\{ \left[\begin{array}{c}1&0& \frac{3}{7} & \frac{11}{7}\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}0&1& \frac{6}{7} & \frac{8}{7}\end{array}\right] \right\}}\) i \(\displaystyle{ \left\{ \left[\begin{array}{c}1&3& 3 & 5\end{array}\right], \left[\begin{array}{c}2&-1&0 & 2\end{array}\right] \right\}}\) Nie są przypadkiem równe

Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Re: Cztery przestrzenie fundamentalne macierzy - szukanie ba

Post autor: Scrub » 11 lis 2017, o 20:28

"Kładąc" te 4 wektory na sobie można wierszowo sprowadzić taką macierz do rzędu 2. Czyli oba rozwiązania są ok?

ODPOWIEDZ