Dwa sposoby na logarytm, dwa różne, błędne wyniki

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
Awatar użytkownika
VirtualUser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 443
Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 113 razy
Pomógł: 15 razy

Dwa sposoby na logarytm, dwa różne, błędne wyniki

Post autor: VirtualUser » 4 lis 2017, o 12:32

Witam, mam problem z wyliczeniem y z zadaniem:
Zaznacz w układzie współrzędnych zbiór punktów \(\displaystyle{ (x,y)}\), dla których prawdziwa jest podana równość. Otrzymany zbiór przesuń o wektor \(\displaystyle{ \vec{u} = \left[ -2;1\right]}\)
\(\displaystyle{ \log _y(x-1)^2 = 2}\) założenia: \(\displaystyle{ x \neq 1 \wedge y \in \left( 0; 1 \right) \cup \left( 1;+ \infty \right)}\)
Pomińmy na razie ten wektor...

I sposób:
\(\displaystyle{ \log _y(x-1)^2 = 2 \\ 2\log _y(x-1) = 2 \\ \log _y(x-1)=1 \\ y=x-1}\)

II sposób:
\(\displaystyle{ \log _y(x-1)^2 = 2 \\ y^2 = (x-1)^2 \\ y = x-1 \vee y= 1-x}\)

a w odpowiedziach wykres narysowany jest perfidnie jak dla odpowiedzi \(\displaystyle{ y = \left| x-1 \right|}\)

1. Dlaczego sposób I jest źle?
2. Dlaczego sposób II jest źle?
3. Jak to zrobić by było poprawnie?
Ostatnio zmieniony 4 lis 2017, o 18:43 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7895
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3093 razy

Dwa sposoby na logarytm, dwa różne, błędne wyniki

Post autor: kerajs » 4 lis 2017, o 12:43

VirtualUser pisze:I sposób:
\(\displaystyle{ \log _y(x-1)^2 = 2}\)
\(\displaystyle{ 2\log _y(x-1) = 2}\)
\(\displaystyle{ 2\log _y\left| x-1\right| = 2}\)
....
VirtualUser pisze:II sposób:
\(\displaystyle{ \log _y(x-1)^2 = 2}\)
\(\displaystyle{ y^2 = (x-1)^2}\)
\(\displaystyle{ y = x-1 \vee y= 1-x}\)
\(\displaystyle{ \left( y = x-1 \vee y= 1-x\right) \wedge y \in \RR_+ \set\min us \left\{ 1\right\}}\)
...
Ostatnio zmieniony 4 lis 2017, o 18:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
VirtualUser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 443
Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 113 razy
Pomógł: 15 razy

Dwa sposoby na logarytm, dwa różne, błędne wyniki

Post autor: VirtualUser » 4 lis 2017, o 16:52

Okej, a mam pytanie, czy taka sama zasada panuje w przypadku odwrotności liczb parzystych czyli w sumie pierwiastków, których stopnie są parzyste?
Tzn.
\(\displaystyle{ \log _{2}(x^2-5x+6)^ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \log _{2}(\left| x^2-5x+6 \right| )}\)?
Ostatnio zmieniony 4 lis 2017, o 18:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19184
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3243 razy

Dwa sposoby na logarytm, dwa różne, błędne wyniki

Post autor: a4karo » 4 lis 2017, o 17:43

VirtualUser pisze:Okej, a mam pytanie, czy taka sama zasada panuje w przypadku odwrotności liczb parzystych czyli w sumie pierwiastków, których stopnie są parzyste?
Tzn.
\(\displaystyle{ \log _{2}(x^2-5x+6)^ \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \log _{2}(\left| x^2-5x+6 \right| )}\)?
W obu przypadkach problem jest z dziedziną.

Dziedzina lewej strony to zbiór \(\displaystyle{ \{x: x^2-5x+6>0\}}\), a prawej \(\displaystyle{ \{x: x^2-5x+6\neq 0\}}\)

Podobnie wyżej: dziedziną \(\displaystyle{ \log (x-1)^2}\) jest zbiór \(\displaystyle{ \{x: x\neq 1\}}\), a dziedziną \(\displaystyle{ 2\log (x-1)}\) jest \(\displaystyle{ (1,\infty)}\).
O tym trzeba pamiętać.
Ostatnio zmieniony 4 lis 2017, o 18:44 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ODPOWIEDZ