Zbadaj zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{ n^{n+1} } }}\)
Zbadaj zbieżność szeregu
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15209
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 161 razy
- Pomógł: 5046 razy
Re: Zbadaj zbieżność szeregu
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{1}{ n^{n+1} } }= \frac{1}{n^{\frac{n+1}{n}}} = \frac{1}{n\sqrt[n]{n}}}\)
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac 1 n}\) jest rozbieżny (to raczej znany fakt), zaś
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n}=1}\)
Zatem na mocy kryterium ilorazowego (zwanego też asymptotycznym kryterium porównawczym) szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{ n^{n+1} } }}\) też jest rozbieżny.
Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac 1 n}\) jest rozbieżny (to raczej znany fakt), zaś
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n}=1}\)
Zatem na mocy kryterium ilorazowego (zwanego też asymptotycznym kryterium porównawczym) szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{ n^{n+1} } }}\) też jest rozbieżny.