Zbadaj zbieżność szeregu

Definicja szeregów liczbowych, kryteria zbieżności szeregów. Suma szeregu i iloczyn Cauchy'ego szeregów. Iloczyny nieskończone.
karolleo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 4 lis 2017, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska

Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: karolleo » 4 lis 2017, o 12:30

Zbadaj zbieżność szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{ n^{n+1} } }}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Zbadaj zbieżność szeregu

Post autor: Premislav » 4 lis 2017, o 12:56

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{ \frac{1}{ n^{n+1} } }= \frac{1}{n^{\frac{n+1}{n}}} = \frac{1}{n\sqrt[n]{n}}}\)

Szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty }\frac 1 n}\) jest rozbieżny (to raczej znany fakt), zaś
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{n}=1}\)
Zatem na mocy kryterium ilorazowego (zwanego też asymptotycznym kryterium porównawczym) szereg
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } \sqrt[n]{ \frac{1}{ n^{n+1} } }}\) też jest rozbieżny.

ODPOWIEDZ