prawdopodobieństwo i gęstości warunkowe

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
aga285
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 38
Rejestracja: 28 sty 2015, o 20:28
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: dom

prawdopodobieństwo i gęstości warunkowe

Post autor: aga285 » 3 lis 2017, o 21:12

Gęstość rozkładu wektora losowego (X,Y) ma postać
\(\displaystyle{ f(x, y) = (y^2-x^2)e^{-y}/8}\), gdy \(\displaystyle{ y > 0, |x| < y.}\)
Znaleźć gęstości rozkładów warunkowych X|Y i Y |X. Obliczyć P(X > 0|Y > 1) oraz P(Y > 1|X > 0).

Najpierw wyznaczam gęstości brzegowe (dobrze wyznaczyłam indykatory?):

\(\displaystyle{ f_{Y}(y)=\int_{R} \frac{(y^2-x^2)e^{-y}}{8} 1_{(-y,y)}(x)dx=\frac{e^{-y}y^3}{6}1_{(0, \infty )}(y)}\)

\(\displaystyle{ f_{X}(x)=\int_{R} \frac{(y^2-x^2)e^{-y}}{8} 1_{(0, \infty )}(y)dy= \frac{2-x^2}{8} 1_{(-y, y )}(x)}\)

I teraz XY ma rozkład \(\displaystyle{ \frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)}}\)

Ale mam problem z obliczeniem \(\displaystyle{ P(Y > 1|X > 0)=}\)\(\displaystyle{ \frac{P(X>0 \wedge Y>1)}{P(X>0)}}\):

Najpierw:

\(\displaystyle{ P(X>0 \wedge Y>1)=\int_{0}^{ \infty }\int_{1}^{ \infty }f(x,y)dydx= \int_{0}^{ \infty }\int_{1}^{ \infty } \frac{(y^2-x^2)e^{-y}}{8}1_{(0, \infty )}(y)1_{(-y, y )}(x) dydx =\int_{1}^{ \infty }\int_{0}^{ y } \frac{(y^2-x^2)e^{-y}}{8}dxdy= \frac{4}{3e}}\)

I teraz:

\(\displaystyle{ P(X>0)=1-P(X \le 0)=1-\int_{- \infty }^{ 0 }\frac{2-x^2}{8}1_{(-y, y )}(x)dx= 1-\int_{-y }^{ 0 }\frac{2-x^2}{8}dx=1- \frac{1}{24}(6y-y^3)}\)

Mógłby mi ktoś napisać, czy to jest dobrze? Ale chyba nie jest, więc gdzie jest błąd?

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

prawdopodobieństwo i gęstości warunkowe

Post autor: janusz47 » 3 lis 2017, o 22:02

Obliczenia wyglądają na poprawne wraz ze stosowanymi indykatorami.

ODPOWIEDZ