Oblicz granicę ciągu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
NinjagoB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 3 lis 2017, o 18:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 8 razy

Oblicz granicę ciągu

Post autor: NinjagoB » 3 lis 2017, o 18:42

\(\displaystyle{ a_{n} = (0,99...9) ^{10 ^{n} }}\) przy czym 9 w części ułamkowej jest n.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19226
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: a4karo » 3 lis 2017, o 18:50

Napisz to \(\displaystyle{ 0.99999...}\) w postaci \(\displaystyle{ 1-?????}\)

NinjagoB
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 3 lis 2017, o 18:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 8 razy

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: NinjagoB » 3 lis 2017, o 19:09

\(\displaystyle{ a_{n} = \left( 1 - \frac{1}{10 ^{n} } \right) ^{10 ^{n} } = \left( \frac{10 ^{n} - 1 }{10 ^{n} } \right) ^{10 ^{n} } = \left[ \left( 1 + \frac{1}{10 ^{n} -1 } \right) ^{10 ^{n} } \right] ^{-1} = e ^{-1}}\)
Dobrze?
Ostatnio zmieniony 3 lis 2017, o 19:16 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3151
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1072 razy

Re: Oblicz granicę ciągu

Post autor: Janusz Tracz » 3 lis 2017, o 21:24

\(\displaystyle{ a_{n} = \left( 1 - \frac{1}{10 ^{n} } \right) ^{10 ^{n} }}\)
Dobrze.
\(\displaystyle{ \left( \frac{10 ^{n} - 1 }{10 ^{n} } \right) ^{10 ^{n} } = \left[ \left( 1 + \frac{1}{10 ^{n} -1 } \right) ^{10 ^{n} } \right] ^{-1} {\red{=}} e ^{-1}}\)
Zapis kiepski, ale intencje słuszne.

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( 1 - \frac{1}{10 ^{n} } \right) ^{10 ^{n} }=\lim_{n \to \infty }\left( \left( 1 + \frac{1}{-10 ^{n} } \right) ^{-10 ^{n} }\right)^{-1} =e^{-1}}\)

ODPOWIEDZ