Jeszcze raz o funkcjach macierzy.

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Jeszcze raz o funkcjach macierzy.

Post autor: NogaWeza » 3 lis 2017, o 15:34

Witam.

Poznałem twierdzenie, które mówi, że jeśli funkcja \(\displaystyle{ f}\) ma szereg Maclaurina zbieżny w kole \(\displaystyle{ |z| < R}\) i jeśli widmo \(\displaystyle{ \sigma (Z)}\) macierzy \(\displaystyle{ Z}\) leży w tym kole, to szereg macierzowy \(\displaystyle{ \sum a_i Z^i}\) jest zbieżny.

Skądś pamiętam, że zbiór macierzy tworzy przestrzeń Banacha, a to jest równoważne temu, że każdy szereg elementów zbieżny względem normy (ja rozpatruję spektralną), jest zbieżny do elementu tej przestrzeni. Tutaj parę pytań:
1) Powinny istnieć szeregi macierzowe rozbieżne względem normy, ale jednocześnie zbieżne (warunkowo). Czy znany jest jakiś przykład takiego szeregu?
2) Zakłada się, że moduł wszystkich wartości własnych \(\displaystyle{ Z}\) ma być w kole zbieżności, ale tak właściwie to dlaczego? Norma spektralna to pierwiastek z promienia spektralnego macierzy \(\displaystyle{ Z^T Z}\), czy zatem nie powinniśmy zamiast tego zakładać, że \(\displaystyle{ \sigma (Z^T Z)}\) leży w kole zbieżności szeregu? Nie przemyślałem tego jeszcze, ale chyba nie zaszkodzi zapytać, nawet jeśli gadam głupoty...
3) Powyższe twierdzenie zostało mi podane w takiej postaci jak napisałem, ale czy da się go uogólnić na funkcje posiadające rozwinięcie w szereg Laurenta, takie jak \(\displaystyle{ x^{-1}}\) czy \(\displaystyle{ \exp ( x^{-1})}\)? Powinniśmy wtedy zakładać zawieranie się widma w pierścieniu zbieżności?

Co do metod wyznaczanie funkcji od macierzy to wiadomo, że można skorzystać z rozkładu Jordana, ale poznałem też "metodę spektralną". Należy wyznaczyć dzielniki elementarne, które są zdefiniowane w ten sposób, że ich iloraz daje wielomian minimalny. Niech \(\displaystyle{ \left\{ ( \lambda - \lambda_i)^{k_i} \right\}_{i = 1, ... , s}}\) będzie zbiorem tych dzielników, wtedy istnieją macierze \(\displaystyle{ A_{ij}}\) takie, że \(\displaystyle{ f(Z) = \sum_{i = 1}^{s} \sum_{j = 1}^{k_i} f^{(j-1)} ( \lambda_i ) A_{ij}}\). Mam wzór, niby działa, ale nie wiem dlaczego. Czy ktoś wie gdzie mógłbym poczytać więcej na ten temat?

Awatar użytkownika
Takahashi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 186
Rejestracja: 12 maja 2017, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: brak
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 22 razy

Re: Jeszcze raz o funkcjach macierzy.

Post autor: Takahashi » 3 lis 2017, o 16:55

2) załóżmy, że \(\displaystyle{ Z}\) ma parę własną \(\displaystyle{ v, \lambda}\), i tak się składa, że \(\displaystyle{ \lambda}\) jest rzeczywiste, to znaczy \(\displaystyle{ Z v = \lambda v}\) i \(\displaystyle{ \lambda > R}\). Wtedy

\(\displaystyle{ f(Z)(v) = \left(\sum_i a_i Z^i\right) v = \sum_i a_i (Z^i) v = \sum_i a_i \lambda^i v =}\)

Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Re: Jeszcze raz o funkcjach macierzy.

Post autor: NogaWeza » 4 lis 2017, o 13:54

Rozumiem, dzięki za odpowiedź.

ODPOWIEDZ