Relacja równoważności i klasa abstrakcji elementu

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
Sansi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 6 maja 2017, o 16:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 23 razy

Relacja równoważności i klasa abstrakcji elementu

Post autor: Sansi » 3 lis 2017, o 00:23

\(\displaystyle{ \left( a-b\right) R \left( c-d\right) \Leftrightarrow a-b=c-d}\)
\(\displaystyle{ \NN^{2}}\)

Zwrotna

\(\displaystyle{ \bigwedge x \in X xRx}\)
zgodnie z definicją
\(\displaystyle{ \left( a,b\right) R \left( a,b\right) \Leftrightarrow \left( a-b\right) R \left( a-b\right)}\)
Relacja jest zwrotna, ponieważ dla dowolnych liczba naturalnych prawdą jest, że ta sama liczba \(\displaystyle{ b}\) odjęta od tej samej liczby \(\displaystyle{ a}\) da zawsze jednakowy wynik.

Symetryczna

\(\displaystyle{ \bigwedge x,y \in X \left( xRy\right) \Rightarrow \left( yRx\right)}\)

zgodnie z definicją

\(\displaystyle{ \left( a,b\right) R \left( c,d\right) \Rightarrow \left( c,d\right) R \left( a,b\right)}\)
\(\displaystyle{ \left( a-b\right) R \left( c-d\right) \Rightarrow \left( c-d\right) R \left( a-b\right)}\)

Relacja jest symetryczna, ponieważ dla dowolnej różnicy dwóch liczb ze zbioru liczb naturalnych jesteśmy w stanie znaleźć inną różnicę dwóch liczb naturalnych równą uzyskanemu wynikowi.

\(\displaystyle{ \left[ np. a=6, b=2 i c=36, d=32; 6-2=4 i 32-28=4; 4=4;\right]}\) - pewnie nie mogłabym za bardzo załączyć tego w rozwiązaniu?

Przechodnia

\(\displaystyle{ \left( a,b\right) R \left( c,d\right) \Rightarrow \left( c,d\right) R \left( e,f\right)}\)
\(\displaystyle{ \left( a-b\right) R \left( c-d\right) \Rightarrow \left( c-d\right) R \left( e-f\right)}\)

założenia:
\(\displaystyle{ \left( a-b\right) = \left( c-d\right) \vee \left( c-d\right) = \left( e-f\right)}\)


Relacja jest przechodnia jeśli wynik różnic każdej z par uporządkowanych branych pod uwagę w relacji osiąga tę samą wartość. Stąd jeśli wynik uzyskany przez parę \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) będzie równy wynikowi uzyskanemu przez parę \(\displaystyle{ \left( c,d\right)}\) to tym samym para \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) będzie pozostawała w relacji z parą \(\displaystyle{ \left( e,f\right)}\).
Ponieważ jesteśmy w stanie znaleźć nieskończenie wiele par liczb naturalnych spełniających założenie - relacja jest przechodnia.

Klasa abstrakcji dla elementu \(\displaystyle{ [1,1]}\)

z definicji
\(\displaystyle{ \left[ x\right] =\left\{ y \in X:yRx\right\}}\)

\(\displaystyle{ \left[ 1,1\right] =\left( 1,1\right) R \left( a,b\right)}\)
\(\displaystyle{ \left[ 1,1\right] =0=a-b}\)
\(\displaystyle{ a=b}\)

\(\displaystyle{ x=x}\)

Klasa abstrakcji elementu \(\displaystyle{ \left[ 1,1\right] = \left\{ x,x : x \in X\right\}}\)

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27296
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Relacja równoważności i klasa abstrakcji elementu

Post autor: Jan Kraszewski » 3 lis 2017, o 01:05

Sansi pisze:\(\displaystyle{ \left( a-b\right) R \left( c-d\right) \Leftrightarrow a-b=c-d}\)
\(\displaystyle{ \NN^{2}}\)
Raczej

\(\displaystyle{ \left( a,b\right) R \left( c,d\right) \Leftrightarrow a-b=c-d}\)
Sansi pisze:Zwrotna

\(\displaystyle{ \bigwedge x \in X xRx}\)
zgodnie z definicją
\(\displaystyle{ \left( a,b\right) R \left( a,b\right) \Leftrightarrow \left( a-b\right) R \left( a-b\right)}\)
Relacja jest zwrotna, ponieważ dla dowolnych liczba naturalnych prawdą jest, że ta sama liczba \(\displaystyle{ b}\) odjęta od tej samej liczby \(\displaystyle{ a}\) da zawsze jednakowy wynik.
Argumentacja słuszna, zapis nie. Gdybyś poprawnie zapisała definicję, to mogłabyś sobie darować ten opis. Powinno być:

\(\displaystyle{ \left( a,b\right) R \left( a,b\right) \Leftrightarrow \left( a-b\right) \red=\black \left( a-b\right)}\)
Sansi pisze:Symetryczna

\(\displaystyle{ \bigwedge x,y \in X \left( xRy\right) \Rightarrow \left( yRx\right)}\)

zgodnie z definicją

\(\displaystyle{ \left( a,b\right) R \left( c,d\right) \Rightarrow \left( c,d\right) R \left( a,b\right)}\)
\(\displaystyle{ \red\left( a-b\right) R \left( c-d\right) \Rightarrow \left( c-d\right) R \left( a-b\right)}\)
Znów niepoprawny zapis. Musisz starać się zrozumieć znaczenie znaczków, wtedy będziesz widziała, kiedy zapis nie ma sensu. Ten czerwony nie ma.
Sansi pisze:Relacja jest symetryczna, ponieważ dla dowolnej różnicy dwóch liczb ze zbioru liczb naturalnych jesteśmy w stanie znaleźć inną różnicę dwóch liczb naturalnych równą uzyskanemu wynikowi.
To brzmi bardzo enigmatycznie.
Sansi pisze:\(\displaystyle{ \left[ np. a=6, b=2 i c=36, d=32; 6-2=4 i 32-28=4; 4=4;\right]}\) - pewnie nie mogłabym za bardzo załączyć tego w rozwiązaniu?
Sprawdzenie przykładu nie jest argumentem za czymkolwiek.

Powinno być:

Ustalmy dowolne \(\displaystyle{ (a,b), (c,d)\in\NN^2}\) takie, że \(\displaystyle{ (a,b)R (c,d)}\). Wtedy \(\displaystyle{ a-b=c-d}\), wobec tego także \(\displaystyle{ c-d=b-a}\), czyli \(\displaystyle{ (c,d)R (a,b)}\), co należało dowieść.
Sansi pisze:Przechodnia

\(\displaystyle{ \left( a,b\right) R \left( c,d\right) \Rightarrow \left( c,d\right) R \left( e,f\right)}\)
\(\displaystyle{ \red\left( a-b\right) R \left( c-d\right) \Rightarrow \left( c-d\right) R \left( e-f\right)}\)
I znów ten sam błąd.
Sansi pisze:założenia:
\(\displaystyle{ \left( a-b\right) = \left( c-d\right) \vee \left( c-d\right) = \left( e-f\right)}\)

Relacja jest przechodnia jeśli wynik różnic każdej z par uporządkowanych branych pod uwagę w relacji osiąga tę samą wartość. Stąd jeśli wynik uzyskany przez parę \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) będzie równy wynikowi uzyskanemu przez parę \(\displaystyle{ \left( c,d\right)}\) to tym samym para \(\displaystyle{ \left( a,b\right)}\) będzie pozostawała w relacji z parą \(\displaystyle{ \left( e,f\right)}\).
Ponieważ jesteśmy w stanie znaleźć nieskończenie wiele par liczb naturalnych spełniających założenie - relacja jest przechodnia.
To nie wygląda dobrze. Najpierw długi i niejasny opis słowny, a potem czerwona konkluzja, która nie ma nic wspólnego z tym, co sprawdzasz.

Przecież wystarczy napisać, że skoro \(\displaystyle{ a-b=c-d}\) i \(\displaystyle{ c-d = e-f}\), to \(\displaystyle{ a-b=e-f}\), czyli \(\displaystyle{ (a,b)R(e,f)}\) i koniec - przechodniość równości jest na tyle oczywista, że nie trzeba się z niej tłumaczyć.
Sansi pisze:Klasa abstrakcji dla elementu \(\displaystyle{ [1,1]}\)

z definicji
\(\displaystyle{ \left[ x\right] =\left\{ y \in X:yRx\right\}}\)

\(\displaystyle{ \left[ 1,1\right] =\left( 1,1\right) R \left( a,b\right)}\)
\(\displaystyle{ \left[ 1,1\right] =0=a-b}\)
\(\displaystyle{ a=b}\)

\(\displaystyle{ x=x}\)

Klasa abstrakcji elementu \(\displaystyle{ \left[ 1,1\right] = \left\{ x,x : x \in X\right\}}\)
Przykro mi, ale to zupełnie nie ma sensu. Mylisz byty na wszystkie możliwe sposoby.

Powinno być:

\(\displaystyle{ \left[ \red(\black 1,1\red)\black\right]_R=\{(a,b)\in\NN^2:(a,b)R(1,1)\}=\{(a,b)\in\NN^2:a-b=1-1\}=\\=\{(a,b)\in\NN^2:a-b=0\}=\blue\{(a,b)\in\NN^2:a=b\}=\{(a,a):a\in\NN\}}\)

przy czym każda z niebieskich odpowiedzi jest dobra - to dwa sposoby zapisania tego samego zbioru.

JK

Sansi
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 98
Rejestracja: 6 maja 2017, o 16:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 23 razy

Re: Relacja równoważności i klasa abstrakcji elementu

Post autor: Sansi » 3 lis 2017, o 10:09

Czemu przy elemencie 1,1 zapisał Pan dodatkowy nawias? Pytam ponieważ na uczelni mieliśmy jedynie kwadratowy nawias i element wewnątrz, a później dalsza część tak jak napisałam. Czemu więc jest to błąd?

Również na czerwono zaznaczone przez Pana rozpisania. Podstawialiśmy tak na uczelni i wykładowca nie wskazał błędu przy tablicy.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9426
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2072 razy

Re: Relacja równoważności i klasa abstrakcji elementu

Post autor: Dasio11 » 3 lis 2017, o 12:45

Sansi pisze:Czemu przy elemencie 1,1 zapisał Pan dodatkowy nawias? Pytam ponieważ na uczelni mieliśmy jedynie kwadratowy nawias i element wewnątrz, a później dalsza część tak jak napisałam. Czemu więc jest to błąd?
Tak jak piszesz, klasę abstrakcji elementu \(\displaystyle{ x}\) oznaczamy przez \(\displaystyle{ [x].}\) Ale w tym przypadku elementem jest \(\displaystyle{ x = (1, 1)}\) - para liczb, dlatego dostajemy \(\displaystyle{ [x] = [(1, 1)].}\) Zapis \(\displaystyle{ [1, 1]}\) miałby sens, gdyby elementem było \(\displaystyle{ x = 1,1}\), ale w matematyce parę uporządkowaną oznacza się przez \(\displaystyle{ (a, b),}\) nie zaś: \(\displaystyle{ a, b}\).

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27296
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

Re: Relacja równoważności i klasa abstrakcji elementu

Post autor: Jan Kraszewski » 3 lis 2017, o 15:12

Sansi pisze:Również na czerwono zaznaczone przez Pana rozpisania. Podstawialiśmy tak na uczelni i wykładowca nie wskazał błędu przy tablicy.
Fragmenty na czerwono nie mają sensu. Zapis

\(\displaystyle{ \red\left( a-b\right) R \left( c-d\right) \Rightarrow \left( c-d\right) R \left( a-b\right)}\)

powinien wyglądać tak:

\(\displaystyle{ a-b= c-d \Rightarrow c-d= a-b}\).

Natomiast stwierdzenie

Ponieważ jesteśmy w stanie znaleźć nieskończenie wiele par liczb naturalnych spełniających założenie - relacja jest przechodnia.

jest po prostu nieprawdziwe - z tego, że jesteśmy w stanie znaleźć nieskończenie wiele par liczb naturalnych spełniających założenie dokładnie nic nie wynika.

JK

ODPOWIEDZ