Granica ciągu

[adda16]

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{n!-1234^{n}}}\)

Jak obliczyć taką granicę?

[Premislav]

Skorzystaj z następującego lematu: niech \(\displaystyle{ (a_n)}\) będzie ciągiem o wyrazach dodatnich.
Wówczas jeśli istnieje \(\displaystyle{ g= \lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}}\), to także
\(\displaystyle{ g= \lim_{n \to \infty }\sqrt[n]{a_n}}\)
Ewentualnie zastosuj nierówność \(\displaystyle{ n! \ge\left( \frac n e\right)^n}\), monotoniczność \(\displaystyle{ f(x)=\sqrt[n]{x}}\) w dodatnich i dalej jakoś szacuj.

[adda16]

Żeby skorzystać z tego lematu, muszę umieć go udowodnić

[Janusz Tracz]

To z definicji idzie zrobić.

\(\displaystyle{ g= \lim_{n \to \infty }\frac{a_{n+1}}{a_n}}\)

Znaczy tyle że istnieje takie \(\displaystyle{ N}\) dla którego jesteśmy już dowolnie blisko \(\displaystyle{ g}\) czyli dla \(\displaystyle{ k>N}\) spełniona jest nierówność.

\(\displaystyle{ g-\epsilon \le \frac{a_{k+1}}{a_k} \le g+\epsilon}\)

Mnożąc stronami niewierność dla \(\displaystyle{ k,k+1,k+2,...,n-1}\) dostaniemy że

\(\displaystyle{ \left( g-\epsilon\right)^{n-k} \le \frac{a_n}{a_k} \le \left( g+\epsilon\right)^{n-k}}\)

\(\displaystyle{ g-\epsilon \le \left( \frac{a_n}{a_k}\right)^{ \frac{1}{n-k} } \le g+\epsilon}\)

stąd wniosek że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( a_n\right)^{ \frac{1}{n-k} } \cdot \left( \frac{1}{a_k} \right)^{ \frac{1}{n-k}} =g}\)

a przy pomocy arytmetyki granic dostaniesz że

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{a_n}=g}\)

[adda16]

\(\displaystyle{ g-\epsilon \le \frac{a_{k+1}}{a_k} \le g+\epsilon}\)

Mnożąc stronami niewierność dla \(\displaystyle{ k,k+1,k+2,...,n-1}\) dostaniemy że

\(\displaystyle{ \left( g-\epsilon\right)^{n-k} \le \frac{a_n}{a_k} \le \left( g+\epsilon\right)^{n-k}}\)

Nie rozumiem jak to się stało.

[Premislav]

To zrozum. Serio, zostało to dokładnie napisane, nie wiem, oczekujesz rozrysowania jak w przedszkolu? Jak powiedział profesor Newelski, student ma studiować. Pomyśl, jaka jest analogia między iloczynem, którego utworzenie zaproponował Janusz Tracz, a np. takim iloczynem:
\(\displaystyle{ \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \ldots \cdot \frac{n}{n-1}}\)

To twierdzenie jednak się nie przyda (przynajmniej nie w takiej formie), bo tutaj odpowiedni iloraz ma granicę niewłaściwą, co wcześniej przeoczyłem, przepraszam najmocniej. Ale dowód usera Janusz Tracz można dostosować też do przypadku z granicą niewłaściwą \(\displaystyle{ +\infty}\), tylko szacujemy wówczas wyłącznie z dołu.

Tą granicą jest \(\displaystyle{ +\infty}\) i tyle. Można i tak:
ponieważ
szereg \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{1234^n}{n!}}\) jest zbieżny (np. z kryterium d'Alemberta, choć od razu można też podać jego sumę: \(\displaystyle{ \exp(1234)}\)), zatem
\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{1234^n}{n!} =0}\) (warunek konieczny zbieżności szeregu).
Ponadto \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!-1234^n}=\sqrt[n]{n!}\cdot \sqrt[n]{1- \frac{1234^n}{n!}}}\)
Drugi czynnik dąży do \(\displaystyle{ 1}\), co łatwo widać, natomiast pierwszy można oszacować z dołu ze wspomnianej nierówności \(\displaystyle{ n!\ge \left( \frac n e\right)^n}\)
Jej dowód (indukcyjny) już pojawiał się na forum, nie jest to też trudne do zrealizowania.
Stad \(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!-1234^n} \ge \frac n e\cdot \sqrt[n]{1-\frac{1234^n}{n!}}}\)
i jak komuś nie wystarcza moje "łatwo widać", to skoro \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\frac{1234^n}{n!}=0}\), mamy \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty }\left( 1-\frac{1234^n}{n!}\right)=1}\), więc
też \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \sqrt[n]{1-\frac{1234^n}{n!}} =1}\), więc dla dostatecznie dużych \(\displaystyle{ n}\) mamy np. \(\displaystyle{ \sqrt[n]{1-\frac{1234^n}{n!}}>\frac 1 2}\), a wówczas
\(\displaystyle{ \sqrt[n]{n!-1234^n}>\frac{n}{2e}}\)
no ale przecież \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{n}{2e}=+\infty}\)