Obliczanie pochodnej funckji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Pyroxar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 22 lip 2017, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Słupsk

Obliczanie pochodnej funckji

Post autor: Pyroxar » 2 lis 2017, o 18:08

Oblicz pochodną:
a)\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ x^{2} }}\)

b)\(\displaystyle{ x^{2} ( \sqrt{x} + x)}\)

c)\(\displaystyle{ x^{4} \sqrt{x}}\)

Wyniki:
a)\(\displaystyle{ \frac{2}{3 \sqrt[3]{x} }}\)

b) \(\displaystyle{ \frac{5}{2}x \sqrt{x} +3 x^{2}}\)

c) \(\displaystyle{ \frac{9}{2} x^{3} \sqrt{x}}\)

Nie wiem jak dojść do tych wyników. Jeśli możecie opiszcie krok po kroku.
Ostatnio zmieniony 2 lis 2017, o 18:11 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Bursztyncio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 24 lis 2015, o 23:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 34 razy

Re: Obliczanie pochodnej funckji

Post autor: Bursztyncio » 2 lis 2017, o 18:19

Wiesz na pewno, że:

\(\displaystyle{ \sqrt[n]{x^m} = x^{ \frac{m}{n} }}\). Skorzystaj zatem ze wzoru na pochodną \(\displaystyle{ (x^{n})' = nx^{n-1}}\). W b będzie dokładnie tak samo, tylko wymnóż nawias.

Pyroxar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 22 lip 2017, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Słupsk

Re: Obliczanie pochodnej funckji

Post autor: Pyroxar » 2 lis 2017, o 18:31

Czy \(\displaystyle{ \sqrt[3]{ x^{2}}}\) daje pochodną: \(\displaystyle{ \frac{3}{2 \sqrt{x} }}\) i dlaczego nie?

I pomóżcie z tą pochodną:
\(\displaystyle{ \frac{1-2x}{ x^{2}+x }}\)

Bursztyncio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 24 lis 2015, o 23:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 34 razy

Re: Obliczanie pochodnej funckji

Post autor: Bursztyncio » 2 lis 2017, o 18:40

Zrobię pierwszy przykład, a Ty kolejne. Zobacz, tak jak Ci napisałem:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{ x^{2}} = x^{ \frac{2}{3} } \\ \\ (x^{ \frac{2}{3} })' = \frac{2}{3} \cdot x^{ \frac{-1}{3} } = \frac{2}{3 \sqrt[3]{x} }}\)

Co do drugiego pytania. Pamiętasz wzór na pochodną ilorazu?

Pyroxar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 22 lip 2017, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Słupsk

Re: Obliczanie pochodnej funckji

Post autor: Pyroxar » 2 lis 2017, o 18:50

Dziękuje.
A to?:
\(\displaystyle{ \frac{x}{4}+ \frac{4}{x}}\)
Powinienem najpierw rozszerzyć czy obliczyć pochodną. Jeśli to drugie to jak obliczyć pochodną: \(\displaystyle{ \frac{x}{4}}\). Na to nie ma wzoru. A na drugi wyraz to też jak? \(\displaystyle{ \frac{4}{x}}\) powinno dać \(\displaystyle{ -\frac{4}{x ^{2} }}\)

Bursztyncio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 24 lis 2015, o 23:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 34 razy

Re: Obliczanie pochodnej funckji

Post autor: Bursztyncio » 2 lis 2017, o 18:58

Wystarczy łatwe przekształcenie i już będziesz wiedział:

Zobacz \(\displaystyle{ \frac{x}{4}+ \frac{4}{x} = \frac{1}{4} x + 4 x^{-1}}\)
Teraz korzystasz ze wzorów: \(\displaystyle{ (c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)}\) gdzie c to jakaś stała, no i ze wzoru \(\displaystyle{ (x^{n})' = nx^{n-1}}\)

Pyroxar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 22 lip 2017, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Słupsk

Re: Obliczanie pochodnej funckji

Post autor: Pyroxar » 7 lis 2017, o 23:46

Czy pochodną funkcji:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}x^{2}+ \frac{1}{x}}\)
jest:
\(\displaystyle{ 2x- \frac{1}{x ^{2} } = \frac{2x ^{3}-1}{x ^{2} }}\)
?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5047 razy

Re: Obliczanie pochodnej funckji

Post autor: Premislav » 8 lis 2017, o 00:18

Nie, \(\displaystyle{ x-\frac{1}{x^2}}\). Wystarczy znać wzór na
\(\displaystyle{ (x^{\alpha})', \ \alpha\neq 0}\)

Pyroxar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 118
Rejestracja: 22 lip 2017, o 18:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Słupsk

Re: Obliczanie pochodnej funckji

Post autor: Pyroxar » 14 lis 2017, o 10:04

funkcja: \(\displaystyle{ x ^{4} \sqrt{x}}\)
pochodna: \(\displaystyle{ 4x ^{3} + \frac{1}{2} x ^{ \frac{-1}{2} } =...}\)
i dalej nie wiem co z tym zrobić. Powinno wyjść: \(\displaystyle{ \frac{9}{2}x ^{3} \sqrt{x}}\)
Mi by ostatecznie wyszło: \(\displaystyle{ \frac{9}{2 \sqrt{x} }x ^{3} \sqrt{x}}\)
Tu się kłania działanie na ułamkach.
Zrobiłem coś takiego:
\(\displaystyle{ 4x ^{3} + \frac{1}{2} x ^{ \frac{-1}{2} } = 4x ^{3} + \frac{1}{2 \sqrt{x} }= \frac{8x ^{3} \sqrt{x} }{2 \sqrt{x} }+\frac{1}{2 \sqrt{x} }}\)
Druga funkcja:
\(\displaystyle{ \frac{2}{ \sqrt{x} } - \frac{1}{ \sqrt[3]{x} } + \sqrt{x}}\)
Jak do pierwszych dwóch wyrazów ma się ten wzór na obliczanie pochodnej?
\(\displaystyle{ \frac{1}{x} = -\frac{1}{x ^{2} }}\)
Czy pierwszy wyraz będzie:
\(\displaystyle{ - \frac{2}{x}}\)
a drugi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \sqrt[3]{x} ^{2} }}\)
?

Belf
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 10 lis 2017, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Pomógł: 113 razy

Re: Obliczanie pochodnej funckji

Post autor: Belf » 14 lis 2017, o 10:10

Prosto:

\(\displaystyle{ f(x)=x^{9/2}}\)

\(\displaystyle{ f'(x)=\frac{9}{2} \cdot x^{7/2}=\frac{9}{2} \cdot x^3 \cdot x^{1/2}=\frac{9}{2}x^3\sqrt{x}}\)

-- 14 lis 2017, o 10:13 --

Bład popełniasz już w pierwszej linijce.
Jeśli korzystasz ze wzoru na pochodną iloczynu funkcji, to:

\(\displaystyle{ [f(x) \cdot g(x)]' = f'(x) \cdot g(x)+f(x) \cdot g'(x)}\)
Ostatnio zmieniony 14 lis 2017, o 17:57 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Symbol mnożenia to \cdot.

ODPOWIEDZ