[Nierówności]Z tegorocznego obozu OMJ poz. OM

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

[Nierówności]Z tegorocznego obozu OMJ poz. OM

Post autor: WolfusA » 2 lis 2017, o 17:48

\(\displaystyle{ a, b, c, d \in R_+ \wedge a+b+c+d\le 2 \wedge ab+bc+cd+da\ge 1}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \left| a-b+c-d\right|\le \frac{1}{16}}\)

bosa_Nike
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1556
Rejestracja: 16 cze 2006, o 15:40
Płeć: Kobieta
Podziękował: 51 razy
Pomógł: 411 razy

[Nierówności]Z tegorocznego obozu OMJ poz. OM

Post autor: bosa_Nike » 2 lis 2017, o 18:18

\(\displaystyle{ 1\le (a+c)(b+d)\le\left(\frac{(a+c)+(b+d)}{2}\right)^2\le 1}\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15209
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: [Nierówności]Z tegorocznego obozu OMJ poz. OM

Post autor: Premislav » 2 lis 2017, o 18:20

Ukryta treść:    
-- 2 lis 2017, o 19:23 --Ech, spóźniony jak przez całe życie.

Awatar użytkownika
WolfusA
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 27 sty 2017, o 19:43
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 17 razy
Pomógł: 9 razy

Re: [Nierówności]Z tegorocznego obozu OMJ poz. OM

Post autor: WolfusA » 2 lis 2017, o 18:24

Ale tak naprawdę, to zadanie jest raczej na panikę (ew. umiejętność podstawiania), bo jak wyżej otrzymujemy \(\displaystyle{ a+c=b+d}\), czyli \(\displaystyle{ \left| a-b+c-d\right|=\left| (a+c)-(b+d)\right| = 0 \le \frac{1}{16}}\). Dałem to zadanie, bo nie wiedziałem, czy tylko ze mną jest coś nie tak, że od razu wychodzi.

ODPOWIEDZ