Funkcja ciągła, o tych samych wartościach na krańcach, dowód

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Bursztyncio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 24 lis 2015, o 23:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 34 razy

Funkcja ciągła, o tych samych wartościach na krańcach, dowód

Post autor: Bursztyncio » 2 lis 2017, o 16:44

Witam serdecznie

Niech \(\displaystyle{ f \in \mathcal{C}\left( \left[ a,b\right] \right)}\) będzie funkcją spełniającą warunek \(\displaystyle{ f(0) = f(2)}\). Wykazać, że istnieją \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2} \in \left[ 0,2\right]}\) takie, że \(\displaystyle{ x_{2} - x_{1} = 1}\) i \(\displaystyle{ f(x_{2}) = f(x_{1})}\). Niestety nie mam pomysłu na to zadanie. Proszę o jakieś podpowiedzi.

Kaf
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 826
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 187 razy

Re: Funkcja ciągła, o tych samych wartościach na krańcach, d

Post autor: Kaf » 2 lis 2017, o 16:50

Zapewne miało być \(\displaystyle{ f \in \mathcal{C}\left( \left[ 0, 2\right] \right)}\)?

Rozważ funkcję \(\displaystyle{ g: [0, 1] \rightarrow \RR}\) daną wzorem \(\displaystyle{ g(x)=f(1+x)-f(x)}\) i popatrz co się dzieje w zerze i jedynce, a następnie skorzystaj z tw. Darboux.

Bursztyncio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 24 lis 2015, o 23:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 34 razy

Re: Funkcja ciągła, o tych samych wartościach na krańcach, d

Post autor: Bursztyncio » 2 lis 2017, o 17:16

Dziękuję serdecznie! No więc tak, rozważyłem funkcję, którą zapisałeś. W podanych punktach przyjmuje wartości różne znakiem, zatem: \(\displaystyle{ g(0) \cdot g(1) < 0}\)

Mogę więc skorzystać z twierdzenia Darboux.

Mówi ono, że istnieje punkt, który nazwę \(\displaystyle{ x_{1} \in [0,1] : \ g(x_{1}) = 0}\)
Rozpisując: \(\displaystyle{ g(x_{1}) = f(1 + x_{1}) - f(x_{1}) = 0 \Rightarrow f(1 + x_{1}) = f(x_{1})}\)
Niech \(\displaystyle{ x_{2} = 1 + x_{1} \Rightarrow x_{2} - x_{1} = 1 \ \ \wedge \ f(x_{2}) = f(x_{1})}\)

Oki, zadanie skończone Ale, czy to intuicja podpowiedziała Ci, żeby zdefiniować taką funkcję? Czy to jakoś można zauważyć?

Kaf
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 826
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 187 razy

Re: Funkcja ciągła, o tych samych wartościach na krańcach, d

Post autor: Kaf » 2 lis 2017, o 17:30

Bursztyncio pisze:W podanych punktach przyjmuje wartości różne znakiem, zatem: \(\displaystyle{ g(0) \cdot g(1) < 0}\)
No nie całkiem, może przyjąć na którymś krańcu wartość \(\displaystyle{ 0}\) (to ma miejsce dokładnie, gdy \(\displaystyle{ f(0)=f(1)}\) bądź \(\displaystyle{ f(2)=f(1)}\)), ale wtedy teza zadania jest oczywista.

Co do wpadnięcia na pomysł: no kwestia intuicji i/lub przerobienia pewnej ilości problemów, tak w skrócie mówiąc.

Bursztyncio
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 80
Rejestracja: 24 lis 2015, o 23:16
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 34 razy

Re: Funkcja ciągła, o tych samych wartościach na krańcach, d

Post autor: Bursztyncio » 2 lis 2017, o 17:31

Faktycznie, dziękuję bardzo!

ODPOWIEDZ