Udowodnić granicę z definicji

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Maciek414
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 21
Rejestracja: 4 lip 2017, o 13:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 9 razy
Pomógł: 1 raz

Udowodnić granicę z definicji

Post autor: Maciek414 » 1 lis 2017, o 20:53

Udowodnić z definicji \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty } a^n=0}\) dla \(\displaystyle{ a \in (-1, 1)}\)
Rozbiłem to sobie na trzy przypadki \(\displaystyle{ a<0, a=0}\) i \(\displaystyle{ a>0}\)
Zastanawiam się czy dla \(\displaystyle{ -1<a<0}\) mogę zrobić coś takiego:

\(\displaystyle{ \left| a^n\right|<E \\ \left| a^ {\frac{2n}{2}} \right|<E \\ \left| \sqrt{a^{2n}}\right| <E \\ \sqrt{a^{2n}}<E \\ a^{2n}<E^2 \\ \log _{a^2}(a^{2n})>\log _{a^2}E^2 \\ n>\log _{a^2}E^2}\)

Z góry dziękuję!
Ostatnio zmieniony 1 lis 2017, o 22:48 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie stosuj wzorów matematycznych w nazwie tematu. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5047 razy

Udowodnić granicę z definicji

Post autor: Premislav » 1 lis 2017, o 22:10

Źle. W ten sposób mógłbyś "uzasadnić", że dowolna liczba rzeczywista jest nieujemna.
Oto jak:
\(\displaystyle{ a=a^{\frac 2 2}=\left(a^2\right)^{\frac 1 2}=\sqrt{a^2}=|a|\ge 0}\)
Błąd tkwi w tym, że wzór
\(\displaystyle{ a^{ \frac{m}{n} }=\left( a^m\right)^{\frac 1 n}}\) (i wszelkie tego typu) ma sens tylko dla liczb nieujemnych. Dla ujemnych nie wolno go stosować (czasem przyjmuje się, że jeśli \(\displaystyle{ n}\) jest całkowite i nieparzyste, to można, ale to już zależy od konwencji).

Co do rozwiązania:
\(\displaystyle{ \left| a^n\right| =|a|^n=|-a|^n}\), więc łatwo widać, że wystarczy rozważyć \(\displaystyle{ a in [0,1)}\), zatem jak poradziłeś sobie z tym przypadkiem, to koniec.

ODPOWIEDZ