całki funkcji zespolonych o wartościach rzecziwistych

Zespolone funkcje analityczne, równania Cauchy'ego-Riemanna, residua i osobliwości funkcji zespolonych, krzywe na C, krzywoliniowa całka zespolona. Całkowanie metodą Residuów. Szeregi Laurenta.
Intech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 20 sty 2017, o 14:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

całki funkcji zespolonych o wartościach rzecziwistych

Post autor: Intech » 1 lis 2017, o 20:43

Witam, proszę o pomoc w sprawdzeniu i rozwiązaniu kilku przykładów całek funkcji zespolonych:

1. \(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{\overline{z}}{\left| z\right|^2 }dz}\) gdzie L jest kierowanym dodatnio łukiem okręgu \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) gdzie \(\displaystyle{ rez, imz \ge 0}\)
\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{\overline{z}}{\left| z\right|^2 }dz = ...}\)
\(\displaystyle{ z(t)= e^{it} z'(t)=i*e^{it}}\)
\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{\overline{z}}{\left| z\right|^2 }dz = \int_{0}^{ \frac{\pi}{2} } \frac{e^{-it}}{\left| cost+isint\right|^2 }* ie^it =i*\int_{0}^{ \frac{\pi}{2} }1 dz=i \frac{\pi}{2}}\)

2. Tego przykładu nie potrafie zrobić:
\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{1}{\overline{z} } dz}\) gdzie L jest odcinkiem od \(\displaystyle{ z_{1}=1}\) do\(\displaystyle{ z _{2}=i}\)
\(\displaystyle{ z(t)=1+(i-1)t, z'(t)=i-1}\)
\(\displaystyle{ \int_{L}^{} \frac{1}{\overline{z} } dz = \int_{0}^{1} \frac{i-1}{1+it-t } dz}\)
Nie wiem co dalej, jak pomnożę mianownik przez sprzężenie to nic mi to chyba nie daje.

3.I ostatni przykład:
[\(\displaystyle{ int_{K}^{} cosz } dz}\) gdzie K jest kierowanym dodatnio łukiem okręgu \(\displaystyle{ \left| z\right|}\) od \(\displaystyle{ z_{0}=-i}\) do\(\displaystyle{ z _{1}=i}\)
Tutaj \(\displaystyle{ z(t)=e^{it} , z'(t)=ie^{it}}\) ale jak podstawie to wyjdzie cosinus z liczby e i nie wiem co miałbym z tym dalej zrobić więc proszę o jakieś wskazówki.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14377
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 81 razy
Pomógł: 4728 razy

Re: całki funkcji zespolonych o wartościach rzecziwistych

Post autor: Premislav » 1 lis 2017, o 21:22

Pierwszy przykład rozwiązałeś poprawnie.
2. Ależ daje, tylko masz już błąd:
skoro \(\displaystyle{ z(t)=1+(i-1)t}\), to \(\displaystyle{ \overline{z(t)}=1-t{\red -}it}\)
Czyli masz
\(\displaystyle{ \int_{0}^{1} \frac{i-1}{1-t-it}\,\dd t= \int_{0}^{1} \frac{(i-1)(1-t+it)}{(1-t-it)(1-t+it)}\,\dd t=\\= \int_{0}^{1} \frac{(i-1)(1-t+it)}{2t^2-2t+1}\,\dd t}\)
no i to \(\displaystyle{ i-1}\) możesz wyłączyć przed całkę, a dalej rozbijasz na sumę całek.
Pomyśl jak, biorąc się za analizę zespoloną, podstawy rachunku całkowego powinieneś mieć opanowane.
Może się przydać to, że dla \(\displaystyle{ a\neq 0}\) i \(\displaystyle{ \Delta=b^2-4ac<0}\) mamy
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{\,\dd x}{ax^2+bx+c} =\frac 1 a \int_{}^{} \frac{\,\dd x}{\left(x+ \frac{b}{2a} \right)^2+ \frac{4ac-b^2}{4a^2} }=\\= \frac{4a}{4ac-b^2} \int_{}^{} \frac{\,\dd x}{\left( \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} \right)^2+1 }= \frac{2}{\sqrt{4ac-b^2}}\arctan\left( \frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}} \right) +C}\)

Trzeci przykład: skojarz z pochodną funkcji złożonej.

Intech
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 20 sty 2017, o 14:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy

Re: całki funkcji zespolonych o wartościach rzecziwistych

Post autor: Intech » 1 lis 2017, o 22:00

Z drugim się uporałem, dziękuje za pomoc. Jednak z trzecim nadal nie wiem co zrobić.
\(\displaystyle{ \int_{K}^{} cos(e^{it})e^{it}dt = ...}\)
\(\displaystyle{ e^{it}=a}\)
\(\displaystyle{ ie^{it}dt=da}\)

zatem \(\displaystyle{ \int_{K}^{} cos(e^{it})e^{it}dt = \frac{1}{i}\int_{ \frac{\pi}{2} }^{ \frac{3\pi}{2} }cosada = \frac{1}{i} [sin(e^{it})]\right]^{ \frac{3\pi}{2} }_ \frac{\pi}{2} = \frac{1}{i}[sin(e^{i \frac{3\pi}{2}})-sin(e^{i \frac{\pi}{2}} )]}\)
Dobrze to robię?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14377
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 81 razy
Pomógł: 4728 razy

Re: całki funkcji zespolonych o wartościach rzecziwistych

Post autor: Premislav » 1 lis 2017, o 23:12

Chyba nie do końca…
Skierowany dodatnio łuk okręgu \(\displaystyle{ \left| z\right|=1}\) od \(\displaystyle{ z_{0}=-i}\) do \(\displaystyle{ z _{1}=i}\) możemy sparametryzować tak:
\(\displaystyle{ z(t)=e^{it}, \ t\in \left[-\frac \pi 2, \frac \pi 2\right]}\)
(przypominam, że "dodatnio" znaczy "przeciwnie do ruchu wskazówek zegara") i otrzymujemy, że
\(\displaystyle{ \int_{K}^{}\cos z \,\dd z= \int_{-\frac \pi 2}^{\frac \pi 2}\cos(e^{it})ie^{it}\,\dd t=\sin(e^{it})\bigg|^{t=\frac \pi 2}_{t=-\frac \pi 2}=\ldots}\)

ODPOWIEDZ