Obliczanie wymiarów sum i przekrojów podprzestrzeni linowych

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Obliczanie wymiarów sum i przekrojów podprzestrzeni linowych

Post autor: Scrub » 1 lis 2017, o 12:31

Jeżeli mam podprzestrzenie, na przykład:
\(\displaystyle{ V = \left[\begin{array}{ccc}v_{1}\\{v_{2}\\v_{3}\end{array}\right], \left[\begin{array}{ccc}v_{4}\\{v_{5}\\v_{6}\end{array}\right]}\),
\(\displaystyle{ W = \left[\begin{array}{ccc}w_{1}\\{w_{2}\\w_{3}\end{array}\right], \left[\begin{array}{ccc}w_{4}\\{w_{5}\\w_{6}\end{array}\right]}\)

i chcę policzyć wymiar np wymiar podprzestrzeni \(\displaystyle{ dim(V)}\), to tworzę macierz
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}v_{1}&v_{4}\\v_{2}&v_{5}\\v_{3}&v_{6}\end{array}\right]}\),
sprowadzam do postaci schodkowej i liczba schodków jest wymiarem.

A jeżeli stworzę taka macierz:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}v_{1}&v_{4}&w_{1}&w_{4}\\v_{2}&v_{5}&w_{2}&w_{5}\\v_{3}&v_{6}&w_{3}&w_{6}\end{array}\right]}\)
to sposobem jak wyżej otrzymam wymiar \(\displaystyle{ dim(V \cap W)}\)?

I jeszcze takie pytanie: czy \(\displaystyle{ dim(V) + dim(W) = dim(V + W)}\)?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19206
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Obliczanie wymiarów sum i przekrojów podprzestrzeni lino

Post autor: a4karo » 1 lis 2017, o 13:13

Nie. Tak otrzymasz wymiar przestrzeni generowanej przez te cztery wektory, czyli \(\displaystyle{ \dim (V+W)}\)

\(\displaystyle{ \dim (V+W) =\dim V+\dim W-\dim (V\cap W)}\)

Scrub
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 4 paź 2016, o 18:55
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 36 razy

Re: Obliczanie wymiarów sum i przekrojów podprzestrzeni lino

Post autor: Scrub » 1 lis 2017, o 13:36

To też mi pasuje, wtedy mogę obliczyć \(\displaystyle{ dim(V \cap W)}\) z tego równania co podałeś.
Ewentualnie jest jakiś rozsądny sposób na obliczenie wymiaru tego przekroju bezpośrednio? (dokładniej interesuje mnie, czy jest on równy 0)

ODPOWIEDZ