Siła zmienna w czasie

Ruch prostoliniowy, po okręgu, krzywoliniowy. rzuty. Praca, energia i moc. Zasady zachowania.
entomonolog
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 5 gru 2013, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Siła zmienna w czasie

Post autor: entomonolog » 31 paź 2017, o 20:55

Na pudełko o masie \(\displaystyle{ m = 1kg}\)działa zmienna w czasie siła \(\displaystyle{ F_(t) = 2[N/s]t}\). Prędkość i położenie początkowe pudełka wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ v_0 = 2m/s}\) i \(\displaystyle{ x_0 = 2m}\). Jakie będzie przyśpieszenie, prędkość i położenie pudełka po czasie \(\displaystyle{ T=2s}\)?
Ostatnio zmieniony 1 lis 2017, o 13:17 przez entomonolog, łącznie zmieniany 6 razy.

Awatar użytkownika
NogaWeza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1481
Rejestracja: 22 lis 2012, o 22:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 147 razy
Pomógł: 300 razy

Siła zmienna w czasie

Post autor: NogaWeza » 31 paź 2017, o 21:49

Z drugiej zasady dynamiki:

\(\displaystyle{ m \ddot{x} (t) = F(t)}\), gdzie \(\displaystyle{ \ddot{x} (t)}\) to oczywiście przyspieszenie, zatem \(\displaystyle{ \ddot{x} (2) = \frac{1}{m} F(2)}\)

Aby wyznaczyć prędkość i położenie trzeba całkować to równanie i potem do rozwiązania wstawić \(\displaystyle{ t=2}\). Oczywiście przy rozwiązywaniu równania różniczkowego drugiego rzędu potrzebne są dwa warunki początkowe, ale są one dane w zadaniu jako \(\displaystyle{ x_0}\) oraz \(\displaystyle{ v_0}\), więc równanie da się rozwiązać bez większych problemów.

Czy da się bez równań różniczkowych (a konkretnie to całkowania stronami, tyle wystarczy) rozwiązać to zadanie to nie wiem.

entomonolog
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 5 gru 2013, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Siła zmienna w czasie

Post autor: entomonolog » 31 paź 2017, o 23:36

Nie bardzo umiem to zrobić ;/ nie miałem w życiu całek itp itd a wymagają na cwiczeniach... na matmie dopiero na kolejnym semstrze... mogę prosić o dalszą pomoc?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19226
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Siła zmienna w czasie

Post autor: a4karo » 1 lis 2017, o 07:56

A znasz że szkoły wzory na drogę prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym?

entomonolog
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 5 gru 2013, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Re: Siła zmienna w czasie

Post autor: entomonolog » 1 lis 2017, o 11:28

\(\displaystyle{ x_1 = 14m?}\)

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6763
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 1096 razy

Re: Siła zmienna w czasie

Post autor: kruszewski » 1 lis 2017, o 13:12

Uwagi kolegi NogaWęża są badzo słuszne, bowiem zadanie choć z punktu widzenia zasad dynamiki jest proste to z matematycznego już nie.
A ta całka jest trochę trudniejsza do rozwiązania niż poprzednia.
Zadawanie zadań wymagających użycia nie znanej dotychczas części matematyki mija się z celem.
Ostatnio zmieniony 1 lis 2017, o 13:31 przez kruszewski, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3637
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 676 razy

Re: Siła zmienna w czasie

Post autor: AiDi » 1 lis 2017, o 13:14

kruszewski pisze: stąd \(\displaystyle{ v= \int_{}^{} \frac{2}{m}t dt = \frac{m}{2} ln|t| +C_1}\)
Coś przekombinowane, to całka z funkcji liniowej przecie

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19226
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Siła zmienna w czasie

Post autor: a4karo » 1 lis 2017, o 13:16

Fakt. Ale przy takim zapisie : \(\displaystyle{ 2[N/s]t}\) większość czytających byłaby bez szans

entomonolog
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 5 gru 2013, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Re: Siła zmienna w czasie

Post autor: entomonolog » 1 lis 2017, o 13:18

Dżizas xD rachunek od II semestru na matmie a tutaj na dzien dobry z fizy na I... xD

Awatar użytkownika
AiDi
Moderator
Moderator
Posty: 3637
Rejestracja: 25 maja 2009, o 22:58
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 676 razy

Re: Siła zmienna w czasie

Post autor: AiDi » 1 lis 2017, o 13:21

No tak to wygląda i niestety niewiele da się z tym zrobić. Na wydziale fizyki UW był pomysł by na I semestrze wykładać tylko matematykę, ale prawdopodobnie skończyłoby się to buntem dekady. Pewnie i tak głównie ze strony osób które do 2 roku nie dotrwają, no ale...

kruszewski
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6763
Rejestracja: 7 gru 2010, o 16:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Staszów
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 1096 razy

Re: Siła zmienna w czasie

Post autor: kruszewski » 1 lis 2017, o 14:35

AiDi pisze:
kruszewski pisze: stąd \(\displaystyle{ v= \int_{}^{} \frac{2}{m}t dt = \frac{m}{2} ln|t| +C_1}\)
Coś przekombinowane, to całka z funkcji liniowej przecie
Oczywista!
I już się poprawiam:
\(\displaystyle{ F=2t}\), zatem przyspieszenie \(\displaystyle{ a= \frac{F}{m}= \frac{2}{ m}t}\)
prędkość jaką masa m osiągnie w chwili czasu t opisuje równanie różniczkowe:
\(\displaystyle{ dv= a dt,}\)
po scałkowaniu ma postać:
\(\displaystyle{ v = \frac{2}{m} \int_{}^{} t dt= \frac{2}{m} \frac{1}{2} t^2 +C_1}\)
Podobnie droga:
\(\displaystyle{ s= \frac{1}{m} \int_{}^{} t^2 dt + \int_{}^{} C_1dt = \frac{1}{m} \cdot \frac{1}{3} t^3 + C_1t +C_2}\)
Stałe całkowania to:
\(\displaystyle{ C_1=2}\) , bo , \(\displaystyle{ v_{(t=0)}= 2 \ \frac{m}{s}}\)

oraz \(\displaystyle{ C_2= 2 \ m}\) , bo w chwili \(\displaystyle{ t=0}\), \(\displaystyle{ s_{(t=0)} = 2 \ m}\)

Równania ruchu są więc następujące:
\(\displaystyle{ v= \frac{1}{m} t^2 +2}\)
\(\displaystyle{ s =\frac{1}{3m} t^3 +2t+2}\)

Dziękuję Panu AiDi za zwrócenie uwagi na mój błąd.

entomonolog
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 5 gru 2013, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Re: Siła zmienna w czasie

Post autor: entomonolog » 1 lis 2017, o 15:08

więc jego obecne położenie to \(\displaystyle{ x_1 = 8,87 m}\) ?

korki_fizyka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 611
Rejestracja: 17 lut 2016, o 21:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 67 razy

Re: Siła zmienna w czasie

Post autor: korki_fizyka » 1 lis 2017, o 16:35

entomonolog pisze:więc jego obecne położenie to \(\displaystyle{ x_1 = 8,87 m}\) ?
\(\displaystyle{ x \approx 8,67}\) m

entomonolog
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 44
Rejestracja: 5 gru 2013, o 15:10
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy

Re: Siła zmienna w czasie

Post autor: entomonolog » 1 lis 2017, o 16:38

tak sory literówka.
Dzięki

ODPOWIEDZ