Pochodne kierunkowe

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
ooolllaaa8883
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 2 lis 2016, o 14:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: PL
Podziękował: 27 razy

Pochodne kierunkowe

Post autor: ooolllaaa8883 » 31 paź 2017, o 11:54

Mam do policzenia pochodne kierunkowe:
\(\displaystyle{ f(x,y,z)= \frac{z-x}{z+x}, P _{0}=(1,0,-3), \vec{h}=[ \frac{-6}{7}, \frac{3}{7}, \frac{-2}{7}]}\)
Z tego wyszło mi \(\displaystyle{ f' _{\vec{h}}(P _{0})=\lim_{t\to\ 0} \frac{ \frac{4t-28}{t-21} - \frac{4}{3} }{t}}\)
I nie wiem co dalej z tym zrobić. Podobnie kolejne:
\(\displaystyle{ f(x,y,z)= e ^{xyz} , P _{0}=(-1,1,-1), \vec{h}=[ \frac{1}{2}, \frac{-3}{4}, \frac{ \sqrt{3}}{4}]}\)
Stąd wyszło mi \(\displaystyle{ f' _{\vec{h}}(P _{0})=\lim_{t\to\ 0} \frac{e ^{ \frac{-3 \sqrt{3}t ^{3} }{32} + \frac{(6+5 \sqrt{3})t ^{2} }{16}- \frac{(5+ \sqrt{3} )t}{4} +1 } -e}{t}}\)
I ostatni przykład:
\(\displaystyle{ f(x,y)= \arctan xy, P _{0}=(1,1), \vec{h}=[1,1]}\)
Wyszło mi: \(\displaystyle{ f' _{\vec{h}}(P _{0})= \frac{\arctan (t ^{2} +2t+1)- \frac{\pi}{4} }{t}}\)

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3149
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1070 razy

Re: Pochodne kierunkowe

Post autor: Janusz Tracz » 31 paź 2017, o 13:39

No a czy w zadaniu koniecznie musisz posłużyć się definicją? Jeśli nie to możesz pochodną kierunkową liczyć za pomocą gradientu.

Wtedy w pierwszym przykładzie dostaniesz:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial f}{ \partial \vec{h}}\left( P_0\right) =\nabla f\circ \frac{ \vec{h} }{\left| h\right| }\left( P_0\right)}\)

Ponieważ

\(\displaystyle{ \nabla f=\left[ -\frac{2z}{\left( x+z\right)^2},0,\frac{2x}{\left( x+z\right)^2 } \right]}\)

jak również wektor \(\displaystyle{ \vec{h}}\) jest już znormalizowany to

\(\displaystyle{ \nabla f\circ \frac{ \vec{h} }{\left| h\right| }=\left[ -\frac{2z}{\left( x+z\right)^2},0,\frac{2x}{\left( x+z\right)^2 } \right]\circ \left[ \frac{-6}{7} , \frac{3}{7} , \frac{-2}{7} \right]=\frac{12}{7} \cdot \frac{z}{\left( x+z\right)^2}- \frac{4}{7} \cdot \frac{x}{\left( x+z\right)^2}}\)

No i na koniec trzeba wstawić \(\displaystyle{ P_0}\) czyli \(\displaystyle{ x=1;y=0;z=-3}\)

Reszta przykładów jest bardzo analogiczna.
Zarzynasz od gradientu funkcji czyli budujesz wektor pochodnych po każdej ze zmiennych. Potem mnożysz skalarnie gradient funkcji z jednostkowym wektorem kierunku a na koniec do tak "wygenerowanej" funkcji wstawiasz punkt w jakich chcesz poznać jej wartość.

ODPOWIEDZ