Przestrzeń metryczna - równoważne wyrażenia

Własności przestrzeni; metryczność, zwartość, spójność... Przekształcenia i deformacje... Teoria wymiaru... słowem - topologia.
relic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 17 sty 2017, o 05:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 2 razy

Przestrzeń metryczna - równoważne wyrażenia

Post autor: relic » 30 paź 2017, o 23:07

Pokazać, że podane wyrazenia sa rownoważne dla przestrzeni metrycznej \(\displaystyle{ \left( X, d\right)}\)

1) Dla każdego zbioru \(\displaystyle{ A \subseteq X}\), \(\displaystyle{ A}\) jest otwarty lub \(\displaystyle{ X \setminus A}\) jest otwarty

2) jest co najwyżej jeden element \(\displaystyle{ x \in X}\), że \(\displaystyle{ \{x\}}\) jest nieotwarty

Jakaś podpowiedź do implikacji z 1 do 2?
Ostatnio zmieniony 30 paź 2017, o 23:42 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nawiasy klamrowe to \{, \}. Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9426
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2072 razy

Re: Przestrzeń metryczna - równoważne wyrażenia

Post autor: Dasio11 » 31 paź 2017, o 21:54

Podpowiedź: weź dowolne dwa różne punkty \(\displaystyle{ x, y \in X}\) i korzystając z tego, że przestrzeń jest metryczna, znajdź rozłączne i otwarte \(\displaystyle{ U, V \subseteq X,}\) takie że \(\displaystyle{ x \in U \ \& \ y \in V.}\)

relic
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 88
Rejestracja: 17 sty 2017, o 05:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 19 razy
Pomógł: 2 razy

Re: Przestrzeń metryczna - równoważne wyrażenia

Post autor: relic » 4 lis 2017, o 16:07

no takie \(\displaystyle{ U}\)i \(\displaystyle{ V}\)można łatwo znaleźć, wystarczy wziąć kule o o środkach w \(\displaystyle{ }\) i \(\displaystyle{ y}\) i promieniach takich, ze ich suma jest mniejsza niż odległość między \(\displaystyle{ x}\) oraz \(\displaystyle{ y}\). Może jakaś kolejna podpwiedź, bo nic nie udaje mi się zauważyć.

Awatar użytkownika
Dasio11
Moderator
Moderator
Posty: 9426
Rejestracja: 21 kwie 2009, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 2072 razy

Re: Przestrzeń metryczna - równoważne wyrażenia

Post autor: Dasio11 » 4 lis 2017, o 20:12

Rozważ \(\displaystyle{ A = \{ x \} \cup (V \setminus \{ y \}).}\) Celem jest pokazanie, że \(\displaystyle{ \{ x \}}\) jest otwarty lub \(\displaystyle{ \{ y \}}\) jest otwarty, co wobec dowolności \(\displaystyle{ x, y}\) oznacza, że najwyżej jeden singleton może nie być otwarty.

ODPOWIEDZ