12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Etypecius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 wrz 2007, o 13:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świdnik
Podziękował: 2 razy

12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Post autor: Etypecius » 23 wrz 2007, o 14:38

Nie mam pojęcia jak ugryźć te całki a zależy mi na nich rozwiązanych krok po kroku ponieważ mam egzamin i będą podobnie konstrukcyjnie całki

Dziękuje serdecznie za pomoc i poświęcony mi czas.

1a) \(\displaystyle{ \int_{ }^{ }{(2x - \frac{2}{\sqrt{x}})(3 - \frac{1}{x^{2}})}\,dx}\)
2a) \(\displaystyle{ \int_{ }^{ }{(\frac{e^{5x} - 2 }{e^{2x} }+ \ tg ^{2}x)}\,dx}\)
3a) \(\displaystyle{ \int_{ }^{ }{ e^{x}\sin2x}\,dx}\)
4a) \(\displaystyle{ \int_{ }^{ }{(2x - \frac{2}{\sqrt{x}})(3 - \frac{1}{x^{3}})}\,dx}\)
5a) \(\displaystyle{ \int_{ }^{ }{(ctg^{2}x - \frac{ e^{4x} - 3 }{e^{2x}})}\,dx}\)
6a) \(\displaystyle{ \int_{ }^{ }{ e^{x}\sin4x}\,dx}\)
7a) \(\displaystyle{ \int_{ }^{ }{(\frac{ 5x - 2 }{ \sqrt{x} })(6 + \frac{1}{x^{2}})}\,dx}\)
8a) \(\displaystyle{ \int_{ }^{ }{(\frac{ t^{2} - 7 }{ t^{2} + 1 } - \frac{ e^{5t} - 3 }{e^{2t}})}\,dt}\)
9a) \(\displaystyle{ \int_{ }^{ }{ e^{2x}\cos3x}\,dx}\)
10a) \(\displaystyle{ \int_{ }^{ }{((4 + \frac{1}{t^{2}})(6t - \frac{2}{\sqrt{t})})}\,dt}\)
11a) \(\displaystyle{ \int_{ }^{ }{(\frac{ x^{2} - 5 }{x^{2}+ 1}) - (\frac{ 3 - e^{6x} }{e^{3x}})}\,dx}\)
12a) \(\displaystyle{ \int_{ }^{ }{ e^{3x}\cos2x}\,dx}\)

1b) \(\displaystyle{ \int_{ 1}^{ 2}{(2x + 1) l&n x}\,dx}\)
2b) \(\displaystyle{ \int_{ 1}^{ 2}{(2x - 1) l&n x}\,dx}\)
3b) \(\displaystyle{ \int_{ \frac{\Pi }{2}}^{ \Pi }{(4x + 1)\sin x}\,dx}\)
4b) \(\displaystyle{ \int_{ \frac{\Pi }{2}}^{ \Pi }{(4x - 1)\cos x}\,dx}\)

1c)Obliczyć pole figury ograniczonej parabolami o równianach y=x^2+2x-3 ,y=-3x-x^2 i prostą o równaniu x=0
2c)Obliczyć pole figury ograniczonej parabolami o równianach y=x^2-2x-3 ,y=3x-x^2 i prostą o równaniu x=0
3c)Obliczyć pole figury ograniczonej parabolami o równianach y=x^2-2x-1 ,y=4+3x-x^2 i prostą o równaniu x=0
4c)Obliczyć pole figury ograniczonej parabolami o równianach y=x^2+2x+1 ,y=4-3x-x^2 i prostą o równaniu x=0
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2007, o 19:33 przez Etypecius, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Post autor: soku11 » 23 wrz 2007, o 15:32

1. powymnazaj wszystko i ladnie wyjdzie bez kombinacji
2.
\(\displaystyle{ \int (\frac{e^{5x} - 2 }{e^{2x}} + tg ^{2}x)}dx =
t \frac{e^{5x} - 2 }{e^{2x}}dx+\int tg ^{2}xdx\\
t \frac{e^{5x} - 2 }{e^{2x}}dx=
t \frac{e^{5x}}{e^{2x}}dx-2\int \frac{dx }{e^{2x}}=
t e^{3x}dx-2\int e^{-2x}dx\\
3x=t\quad dx=\frac{1}{3}dt\qquad -2x=t\quad dx=-\frac{1}{2}dt\\
\frac{1}{3}e^{3x}-e^{-2x}
\\ \\
t tg ^{2}xdx=\int \frac{sin^2x}{cos^2x}dx=
t \frac{1-cos^2x}{cos^2x}dx=\int\frac{dx}{cos^2x}-\int dx=tgx-x}\)



3. Przez czesci ladnie wyjdzie
4. Ten sam przyklad co 1
5. Analogicznie jak 2.
...
8. Na pewno dobrze przepisane??
...
11.
\(\displaystyle{ \int \frac{ x^{2} - 5 }{ x^{2}+ 1 }dx - t \frac{ 3 - e^{6x} }{e^{3x}}dx =
t \frac{ x^{2} +1-6 }{x^{2}+ 1}dx - t (\frac{3}{e^{3x}} - \frac{e^{6x} }{e^{3x}})dx =
t (1-\frac{6}{x^{2}+ 1})dx - 3\int e^{-3x}dx +\inte^{3x}dx =
t dx-6\int \frac{dx}{x^{2}+ 1} - 3\int e^{-3x}dx +\int e^{3x}dx =...}\)



POZDRO

Etypecius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 wrz 2007, o 13:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świdnik
Podziękował: 2 razy

12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Post autor: Etypecius » 23 wrz 2007, o 16:08

dzieki za to..zawsze to cos wiecej niz nic..a co do 8..to niestety dobrze przepisane

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Post autor: soku11 » 23 wrz 2007, o 16:18

No to 8:
\(\displaystyle{ \int{(\frac{ t^{2} - 7 }{ t^{2} + 1 } - \frac{ e^{5t} - 3 }{e^{2t}})}\,dx=
ft(\frac{ t^{2} - 7 }{ t^{2} + 1 } - \frac{ e^{5t} - 3 }{e^{2t}}\right)x}\)


Jak ktoregos nie potrafisz rozwiazac to napisz - rozpisze dokladnie. Jednak 3/4 tych calek sa prawie takie same i polegaja tylko na zmianie np podstawienia

POZDRO

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Post autor: mostostalek » 23 wrz 2007, o 18:25

oznaczone:

a i b:

\(\displaystyle{ \int_{1}^{2}(2x+1)\ln{x} dx=2\int_{1}^{2}x\ln{x}dx+\int_{1}^{2}\ln{x} dx}\)

\(\displaystyle{ 2\int_{1}^{2}x\ln{x}=2(\frac{1}{2}x^2\ln{x}\big|_{1}^{2}-\frac{1}{2}\int_{1}^{2}x dx)=x^2\ln{x}\big|_{1}^{2}-\frac{1}{2}x^2\big|_{1}^{2}=4\ln{2}-(2-\frac{1}{2})=4\ln{2}-\frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ \int_{1}^{2}\ln{x}dx=x\ln{x}\big|_{1}^{2}-x\big|_{1}^{2}=2\ln2-1}\)

stąd:

a) \(\displaystyle{ \int_{1}^{2}(2x+1)\ln{x} dx=6\ln{2}-\frac{5}{2}}\)

b) \(\displaystyle{ \int_{1}^{2}(2x-1)\ln{x} dx=2\ln{2}-\frac{1}{2}}\)

[ Dodano: 23 Września 2007, 18:27 ]
i spójrz na 8 czy nie powinno być czasem \(\displaystyle{ \int_{ }^{ }{(\frac{ t^{2} - 7 }{ t^{2} + 1 } - \frac{ e^{5t} - 3 }{e^{2t}})}\,dt}\)??

[ Dodano: 23 Września 2007, 18:42 ]
c i d:
\(\displaystyle{ \int_{ \frac{\pi }{2}}^{ \pi }{(4x + 1)\sin x}\,dx=4\int_{ \frac{\pi }{2}}^{ \pi }{x\sin x}\,dx +\int_{ \frac{\pi }{2}}^{ \pi }{\sin x}\,dx}\)

\(\displaystyle{ 4\int_{ \frac{\pi }{2}}^{ \pi }{x\sin x}\,dx=4(-x\cos{x}\big|_{ \frac{\pi }{2}}^{ \pi }+\int_{ \frac{\pi }{2}}^{ \pi }\cos{x}dx)=-4x\cos{x}\big|_{ \frac{\pi }{2}}^{ \pi }+\4sin{x}\big|_{ \frac{\pi }{2}}^{ \pi }=4\pi+4}\)

\(\displaystyle{ \int_{ \frac{\pi }{2}}^{ \pi }\sin{x}=\cos{x}\big|_{ \frac{\pi }{2}}^{ \pi }=1}\)

c) \(\displaystyle{ 4\pi+5}\)

d) \(\displaystyle{ 4\pi+3}\)

[ Dodano: 23 Września 2007, 18:55 ]
6, 9, 12 tak samo jak 3 przez części ładnie wychodzą..

4, 7, 10 tak samo jak 1..

5 tak jak 2..

11 tak jak 8 o ile jest dt..

Etypecius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 wrz 2007, o 13:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świdnik
Podziękował: 2 razy

12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Post autor: Etypecius » 23 wrz 2007, o 19:33

tak tak..8 jest po dt:) sorka ale na to nie zwróciłem uwagi..dzięki serdeczne za pomoc..wiem ze są podobne..chodziło mi o rozwiązanie któregoś od początku do samego końca żebym mógł ugryść resztę

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Post autor: soku11 » 23 wrz 2007, o 20:49

No to ok Zrobie 1, to bedziesz mial juz wiedze jak rozwiazac 1,4,7 i 10:
1.
\(\displaystyle{ \int ( 2x - \frac{2}{\sqrt{x}})( 3 - \frac{1}{x^2} ) dx=
t ft(6x-\frac{2}{x}-\frac{6}{\sqrt{x}}+\frac{2}{\sqrt{x}\cdot x^2} \right) dx=\\
6\int xdx -2\int \frac{dx}{x}-6\int x^{-\frac{1}{2}}dx
+2\int x^{-\frac{5}{2}}dx=
3x^2-2ln|x|-6\frac{x^{\frac{1}{2}}}{\frac{1}{2}}
+2 \frac{x^ {-\frac{3}{2} }}{ -\frac{3}{2} }=
3x^2-2ln|x|-12\sqrt{x}-\frac{4}{3\sqrt{x^3}}}\)



Teraz 3,6,9,12:
3.
\(\displaystyle{ \int e^x sin2x dx \\
u=e^x \quad dv=sin2x dx\\
du=e^x dx \quad v=-\frac{1}{2}cos2x \\
-\frac{e^x cos2x}{2}+\frac{1}{2}\int e^x cos2x dx\\
t e^x cos2x dx\\}\)

\(\displaystyle{ u=e^x\quad dv=cos2xdx\\
du=e^xdx\quad v=\frac{1}{2}sin2x\\
\frac{e^xsin2x}{2}-\frac{1}{2}\int e^xsin2xdx\\
\\
t e^xsin2x dx=-\frac{e^xcos2x}{2}+\frac{1}{2}(\frac{e^xsin2x}{2}-\frac{1}{2}\int e^xsin2xdx) \\
t e^xsin2x dx=-\frac{e^xcos2x}{2}+\frac{e^xsin2x}{4}-\frac{1}{4}\int e^xsin2xdx \\
\frac{5}{4}\int e^xsin2x dx=-\frac{2e^xcos2x}{4}+\frac{e^xsin2x}{4} \\
5\int e^xsin2x dx=e^x(sin2x-2cos2x) \\
t e^xsin2x dx=\frac{e^x(sin2x-2cos2x)}{5} \\}\)



POZDRO
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2007, o 21:13 przez soku11, łącznie zmieniany 9 razy.

Etypecius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 wrz 2007, o 13:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świdnik
Podziękował: 2 razy

12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Post autor: Etypecius » 23 wrz 2007, o 21:01

1a juz mam wsio haraszo rozwiazany..czas na reszte..gdybys mogl 7 pchnac

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Post autor: soku11 » 23 wrz 2007, o 21:18

Mozesz miec jeszcze problem tylko z 8 i 11. Zrobie dla przykladu 8:
\(\displaystyle{ \int \frac{ t^2 - 7 }{ t^2 + 1 }dt -\int \frac{ e^{5t} - 3 }{e^{2t}} dt =
t \frac{ t^2 +1-8 }{ t^2 + 1 }dt -\int (\frac{ e^{5t}}{e^{2t}} - \frac{3}{e^{2t}}) dt =
t (1-\frac{ 8 }{ t^2 + 1 })dt -\int (e^{3t} - \frac{3}{e^{2t}}) dt =
t dt-8\int\frac{ dt }{ t^2 + 1 } -\int e^{3t}dt - 3\int e^{-2t} dt =...}\)


POZDRO
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2007, o 22:22 przez soku11, łącznie zmieniany 1 raz.

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Post autor: mostostalek » 23 wrz 2007, o 21:34

7)
\(\displaystyle{ \int_{ }^{ }{(\frac{ 5x - 2 }{ \sqrt{x} })(6 + \frac{1}{x^{2}})}\,dx=\int(5\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}})(6+\frac{1}{x^2})dx=\int(30\sqrt{x}+5x^{-\frac{3}{2}}-12x^{-\frac{1}{2}}-2x^{-\frac{5}{2}})=20x^{\frac{3}{2}}-\frac{10}{\sqrt{x}}+24\sqrt{x}+\frac{4}{3\sqrt{x^3}}}\)

Etypecius
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6
Rejestracja: 23 wrz 2007, o 13:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świdnik
Podziękował: 2 razy

12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Post autor: Etypecius » 23 wrz 2007, o 21:42

miodzio miodzio miodzio:) a cos z polami figur? moze jakis programik co by mi pomogl narysowac te funkcje?

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Post autor: soku11 » 23 wrz 2007, o 21:46

Ja sie jeszcze oznaczonych nie uczylem, wiec ich ci nie policze. Chociaz zasade mniej wiecej znam, ale wole nie wprowadzac w blad. Masz tutaj wrzucilem program do rysowania wszelakich funkcji z ktorego ja korzystam:
http://www.sendspace.com/file/h3p3yy

POZDRO

mostostalek
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1384
Rejestracja: 26 lis 2006, o 21:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 268 razy

12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Post autor: mostostalek » 23 wrz 2007, o 22:18

mały błąd w 7 zadaniu soku.. oznaczone wszystkie już policzone

co do tego pola.. to zrobię jedno.. reszta przez analogię..

1:

\(\displaystyle{ y=x^2+2x-3}\)
\(\displaystyle{ y=-x^2-3x}\)

no to na początek obliczamy punkty przecięcia wykresów tych dwóch równań:

\(\displaystyle{ x^2+2x-3=-x^2-3x \iff2x^2+5x-3=0}\)
to to już wiesz jak policzyć.. w każdym razie miejsca zerowe to:
\(\displaystyle{ x_1=-3\ \ \ \ x_2=\frac{1}{2}}\)

teraz normalnie chodziłoby nam o całkę oznaczoną w przedziale całkowania od -3 do 1/2.. ale mamy jeszcze ograniczenie wykresem x=0 zatem bierzemy tylko od 0 do 1/2.. czyli całka z różnicy tych dwóch funkcji w przedziale całkowania od 0 do 1/2

\(\displaystyle{ \int_{0}^{\frac{1}{2}}(-2x^2-5x+3)dx=-2\int_{0}^{\frac{1}{2}}x^2dx-5\int_{0}^{\frac{1}{2}}xdx+3\int_{0}^{\frac{1}{2}}dx=(-\frac{2}{3}x^3-\frac{5}{2}x^2+3x)\big|_{0}^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{12}-\frac{5}{8}+\frac{3}{2}=1}\)

jeszcze jedno: wartości tej drugiej funkcji są większe od wartości pierwszej funkcji w całym przedziale (-3;1/2), a co za tym idzie w przedziale (0;1/2) dlatego od drugiej odejmujemy pierwszą.. gdybyśmy postąpili odwrotnie wynik wyszedł by ujemny ale taki sam co do wartości czyli -1.. jak gdzieś Ci wyjdzie minus to albo błąd popełniłeś albo właśnie odjąłeś funkcję z mniejszymi wartościami od tej z większymi..

Pozdro

soku11
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6607
Rejestracja: 16 sty 2007, o 19:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 119 razy
Pomógł: 1822 razy

12 nieozn. calek+4 ozn. calki+ 4 na pole figury

Post autor: soku11 » 23 wrz 2007, o 22:22

No tak rzeczywiscie Minusik zgubilem i juz kicha Zaraz usune moje rozwiazanie. POZDRO

ODPOWIEDZ