Część rzeczywista i urojona liczby z do n potęgi

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
marcel0906
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 7 lip 2015, o 17:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 4 razy

Część rzeczywista i urojona liczby z do n potęgi

Post autor: marcel0906 » 30 paź 2017, o 13:25

Wyliczyć \(\displaystyle{ \Re(z^n)}\) oraz \(\displaystyle{ Im(z^n)}\) dla \(\displaystyle{ z=a+ib}\)Wskazówka: skorzstaj ze wzoru Newtona.
Rozpisałem to w ten sposób
\(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}a^{n-k}ib^{k}}\)
Teraz należy wyciągnąć część rzeczywistą i urojoną. Z tym mam problem. Czy mógłby ktoś mnie naprowadzić?

Awatar użytkownika
Igor V
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1605
Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 604 razy

Re: Część rzeczywista i urojona liczby z do n potęgi

Post autor: Igor V » 30 paź 2017, o 14:01

1. \(\displaystyle{ i}\) podnosi też do potęgi : \(\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n} {n\choose k}a^{n-k}(ib)^{k}}\)
2. Zobacz że dowolna potęga \(\displaystyle{ i}\) może mieć tylko jedną z czterech wartości : \(\displaystyle{ 1,i,-1,-i}\). I powtarzają się one cyklicznie.
3. Żeby to zapisać w jakiejść bardziej zwięzłej formie, to trzeba będzie chyba rozbić na przypadek gdy \(\displaystyle{ n = 2k}\) i \(\displaystyle{ n = 2k + 1}\) dla \(\displaystyle{ k \in \NN}\)

marcel0906
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 63
Rejestracja: 7 lip 2015, o 17:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wielkopolska
Podziękował: 18 razy
Pomógł: 4 razy

Re: Część rzeczywista i urojona liczby z do n potęgi

Post autor: marcel0906 » 30 paź 2017, o 20:14

Dziękuję. Rzeczywiście takie rozbicie prowadzi do poprawnej odpowiedzi.

ODPOWIEDZ