mniej trywialne i mniej sztampowe zadania

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
foundofmath
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 79
Rejestracja: 3 sty 2017, o 19:54
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 33 razy
Pomógł: 4 razy

mniej trywialne i mniej sztampowe zadania

Post autor: foundofmath » 30 paź 2017, o 12:39

Czy zna ktoś jakieś mniej trywialne i mniej sztampowe zadania ze zbiorów na indukcję, funktory \(\displaystyle{ \cup , \cap , \setminus ,\div}\), zbiory potęgowe, funkcje zdaniowe (bez sum, iloczynów indeksowanych/uogólnionych, funkcji, relacji, mocy zbiorów nieskończonych, porządków etc.) oraz na rachunek predykatów? Potrzebuję przećwiczyć.

Jakub Gurak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 824
Rejestracja: 20 lip 2012, o 21:19
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 28 razy
Pomógł: 54 razy

Re: mniej trywialne i mniej sztampowe zadania

Post autor: Jakub Gurak » 31 paź 2017, o 01:32

Zobacz, tu: http://wazniak.mimuw.edu.pl/index.php?t ... a_zbiorach. Znajdziesz tu, wiele nietypowych zadań/dowodów. Zwróć uwagę też, że najprostsze własności sumy dwóch zbiorów, zostały dowiedzione nietypowo... W ćwiczeniu 5.2.

Możesz też zobaczyć do rozdziału drugiego, z tej logiki i teorii mnogości na ważniaku, tj. rachunek zdań (znajdziesz tam np. nietypowe dowody indukcyjne). Rozdział 3, tj. rachunek predykatów, to na uwagę zasługuję ostatnia część tego wykładu, tj. modele. Szczególnie polecam zadanie, w którym modelem są wszystkie punkty, odcinki i okręgi płaszczyzny... Albo też, wielkim podziwem darzę dowód ( którego jeszcze nie rozumiem), który jest w przedostatnim zadaniu tego rozdziału, że w dowolnym ustalonym modelu, prawdziwa jest formuła

\(\displaystyle{ \displaystyle \forall_x r(x, f(x)) \Rightarrow \forall_x \exists_y r(x,y)}\).

W kolejnym rozdziale masz dowód własności charakterystycznej pary uporządkowanej, a w dodatku dla dociekliwych masz nieszczęsny dowód istnienia iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów ( ale Tobie pewnie, taki formalizm się spodoba ). I w ostatnim wykładzie masz liczby porządkowe (ale myślę, że to będzie dobre ćwiczenie na zbiorach), np. możesz przećwiczyć, że jeśli \(\displaystyle{ X}\) jest liczbą porządkową, to \(\displaystyle{ X \cup \left\{ X\right\}}\) jest liczbą porządkową. Poprzeglądaj sobie... Bo ogólniej, powiem na przyszłość, na ważniaku, w logice i teorii mnogości jest dużo nietypowych zadań.

Dodam jeszcze, własne, ulubione zadanie:

Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie dowolnym zbiorem. Wyznacz \(\displaystyle{ X \cap \left\{ X\right\}}\).

ODPOWIEDZ