Niezmienniczość Lagrangianu - pytane na temat tw. Noether

[lukas1929]

Analizując dowód tw. Noether utknąłem na następującym zapisie:

\(\displaystyle{ \frac{dL}{dt} = \sum_{i} \left( \frac{ \partial L}{\partial q _{i} } q_{i}'+\frac{ \partial L}{\partial q _{i}' } q _{i}'' \right) + \frac{ \partial L}{\partial t}}\)

1. Tu moje pytanie, na jakiej zasadzie powyższa równość jest prawdziwa ? Czy są tu przyjęte jakieś ukryte założenia np. że funkcje \(\displaystyle{ q_i}\) i \(\displaystyle{ q_i'}\) będą należeć do oddzielnych czynników sumy Lagrangianu ? Bo przecież w przeciwnym razie należałoby zastosować regułę mnożenia i powyższe wyrażenie wyglądałoby w bardziej złożony sposób. Tak samo ze współrzędną \(\displaystyle{ t}\), bo przecież nie ma żadnego powodu, żeby nie wystąpiła ona w tym samym składniku sumy co współrzędne położenia chociażby w wyrażeniu \(\displaystyle{ V \left( x,t \right)}\).

Z definicji pęd uogólniony:

\(\displaystyle{ p_{i} = \frac{ \partial L}{\partial q _{i}' }}\)

więc możemy zapisać:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{\partial q _{i}' } q _{i}'' = p_{i} q _{i}''}\)

2. A dlaczego wobec tego możemy zapisać także \(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{\partial q _{i}} q _{i}' = p_{i}' q _{i}'}\) ? To jest dla mnie nieoczywiste.

3. Skąd wiemy, że jeśli \(\displaystyle{ p_{i} = \frac{ \partial L}{\partial q _{i}' }}\) to \(\displaystyle{ p_{i} = mx _{i}'}\) ?

4. Poza tym dla lepszego zrozumienia chciałbym odtworzyć ten wynik na konkretny przykładzie. Rozważmy kamień w centralnym polu grawitacyjnym spadający z wysokości \(\displaystyle{ h}\) i załóżmy że stała grawitacji jest funkcją czasu \(\displaystyle{ G \left( t \right)}\) - ewentualnie może lepszym wyborem byłoby \(\displaystyle{ M \left( t \right)}\) ? W każdym razie chodzi o to aby potencjał pola grawitacyjnego nie był stały w czasie:

\(\displaystyle{ L = \frac{ 1}{2} mv ^{2} + \frac{G \left( t \right) Mm}{r+h \left( t \right) }}\)

\(\displaystyle{ L \left( x,x',t \right) = \frac{ 1}{2} mx' ^{2} + \frac{G \left( t \right) Mm}{r+h \left( t \right) }}\)

Zgodnie z tw. Noether \(\displaystyle{ E' = \frac{ d}{dt} \left( \frac{ 1}{2} mv ^{2} - \frac{G \left( t \right) Mm}{r+h \left( t \right) } \right) =
0 \Leftrightarrow \left\langle = \right\rangle G \left( t \right) = const}\) ?

Do tego chyba nie potrzeba twierdzenia Noether, bo i tak prawa dynamiki są tak zdefiniowane, że:

\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}E = mx'x'' - \left( -\frac{G \left( t \right) Mm}{ \left( r+h \left( t \right) \right) ^{2} }h \left( t \right) ' + \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) } \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}E = mx'x'' - \left( \frac{G \left( t \right) Mm}{ \left( r+h \left( t \right) \right) ^{2} }x' + \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) } \right)}\)

\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}E = x' \left( mx'' - \frac{G \left( t \right) Mm}{ \left( r+h \left( t \right) \right) ^{2} } \right) - \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) }}\)

\(\displaystyle{ \frac{d}{dt}E = - \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) }}\)

Czy to jest prawidłowe ?

Bo jeżeli jest, to ja w takim razie nie wiem co daje ta Noether.

5. I jeszcze jedno: w definicji symetrii lagrangianu względem translacji czasowej jest mowa o pochodnej cząstkowej czyli \(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{\partial t } = 0}\). Czy to dotyczy wszystkich funkcji czasu nie związanych z przemieszczeniem ani prędkością ? Czyli np. dla \(\displaystyle{ L}\)z punktu 4:

\(\displaystyle{ \frac{ \partial L}{\partial t } = \frac{G \left( t \right) 'Mm}{r+h \left( t \right) } ?}\).

.

[janusz47]

1.
Prawą strona równości stanowią równania Eulera- Lagrange'a zapisane we współrzędnych uogólnionych.
Aby wiedzieć skąd wzięły się te równości musimy poznać zasadę d'Alemberta i zapisać ją we współrzędnych uogólnionych.

2.

Dlatego, że pędy uogólnione spełniają równości:

\(\displaystyle{ p_{i}'(t) = \frac{\partial L}{\partial q_{i}}, \ \ i=1,2,...N.}\)

3

Z definicji pędu uogólnionego.

4

Do tego przykładu nie trzeba.

Klasyczna mechanika teoretyczna d' Alemberta, Lagrange'a, Hamiltona do lat 60, a nawet 70 obywała się bez twierdzenia Emmy Noether.
Kiedy wprowadzono w matematyce takie pojęcia jak rozmaitość gładka, forma różniczkowa, wiązka styczna, jednoparametrowa grupa dyfeomorfizmów i inne, wtedy - rozmaite prawa zachowania np. pędu, momentu itd. stały się szczególnymi przypadkami bardziej ogólnego twierdzenia - twierdzenia Noether. Wprowadzono między innymi przestrzeń fazową przestrzeni konfiguracyjnej \(\displaystyle{ \textbf M^{n}}\)

Na podstawie twierdzenia Noether można wiązać prawa zachowania wielkości fizycznych z określonymi symetriami układu przejawiającymi się w fakcie niezmienniczości całki działania podczas ustalonych transformacji \(\displaystyle{ \textbf R^{1}\times \textbf M^{n}.}\)

5.

W przypadku fizyki klasycznej pokazano, że zgodnie z zasadą Emmy Noether niezmienniczość praw fizyki wobec transformacji związana jest z prawem zachowania. Pokazano, że odpowiednie symetrie prowadzą do takich zasad zachowania jak zasada zachowania pędu, energii, krętu, masy całkowitej, interwału czasoprzestrzennego.
Okazuje się, że na gruncie mechaniki kwantowej - nierelatywistycznej spełnione są te same zasady zachowania dla wszystkich oddziaływań elementarnych. Jedynie symetria prawo-lewo (R-L) nie jest zachowana i to tylko dla oddziaływania słabego.
Niezachowanie symetrii (R-L) zaobserwowano doświadczalnie, analizując rozpady mezonów K. Okazuje się, że generalnie zawsze musimy sprawdzić doświadczalnie, czy jakaś obserwabla jest zachowana czy też nie, czy spełniona lub nie spełniona jest odpowiednia symetria.

Proszę zapoznać się z nowszymi podręcznikami z mechaniki teoretycznej np:

Krzysztof Pomorski. Mechanika Teoretyczna. Wyd. Uniwersytetu Marii Curie - Skłdowskiej Lublin 2000.

Roman Stanisław Ingarden, Andrzej Jamiołkowski Mechanika Klasyczna PWN Warszawa-Poznań 1980.

[AiDi]

Okazuje się, że na gruncie mechaniki kwantowej - nierelatywistycznej spełnione są te same zasady zachowania dla wszystkich oddziaływań elementarnych. Jedynie symetria prawo-lewo (R-L) nie jest zachowana i to tylko dla oddziaływania słabego.

Wszystkie oddziaływania elementarne (elektromagnetyczne, słabe, silne) to już działka relatywistycznej kwantowej teorii pola. Nierelatywistyczna mechanika kwantowa nie daje dużego pola do popisu w kwestii modelowania oddziaływań.

Okazuje się, że generalnie zawsze musimy sprawdzić doświadczalnie (...)

To w sumie tyczy się wszystkiego w fizyce

[lukas1929]

2.

Dlatego, że pędy uogólnione spełniają równości:

\(\displaystyle{ p_{i}'(t) = \frac{\partial L}{\partial q_{i}}, \ \ i=1,2,...N.}\)

To przecież wiem, ale pytałem dlaczego.

Mamy:

\(\displaystyle{ p_{i} = mq_{i}'}\)

więc

\(\displaystyle{ p_{i}' = mq_{i}''}\)

zresztą chyba już doszedłem o co tutaj chodzi...

\(\displaystyle{ \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = -\frac{\partial V(q_{i})}{\partial q_{i}} = F(q_{i})}\)

[janusz47]

\(\displaystyle{ (q_{i}')' =( q_{i})^{''}.}\)