Zadanie z treścią z wykorzystaniem funkcji kwadratowej

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
qwerty_99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 60
Rejestracja: 26 mar 2007, o 12:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: ...
Podziękował: 10 razy

Zadanie z treścią z wykorzystaniem funkcji kwadratowej

Post autor: qwerty_99 » 23 wrz 2007, o 14:31

1. Drut długości 2m podzielono na dwie części: z jednej zbudowano kwadratową ramkę, a z drugiej ramkę prostokątną, w której jeden bok prostokąta ma długość 3 razy większą od długości drugiego boku. Jak należy podzielic drut aby suma pól kwadratu i prostokąta była najmniejsza?

Proszę, pomóżcie...
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2007, o 17:59 przez qwerty_99, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Zadanie z treścią z wykorzystaniem funkcji kwadratowej

Post autor: scyth » 25 wrz 2007, o 08:51

a - kawałek na kwadrat
b - kawałek na prostokąt
\(\displaystyle{ a+b=2}\)
prostokąt ma wymiary 3c x c, zatem:
\(\displaystyle{ 8c=b \ c=\frac{b}{8}}\)
Chcemy znaleźć minimum funkcji:
\(\displaystyle{ \left(\frac{a}{4}\right)^2+3c^2}\)
Z zależności podanych powyżej:
\(\displaystyle{ \left(\frac{a}{4}\right)^2+3c^2=\frac{1}{16}a^2+3\left(\frac{b}{8}\right)^2=
\frac{1}{16}a^2+\frac{3}{64}b^2= \\ =
\frac{1}{16}a^2+\frac{3}{64}(2-a)^2=\frac{1}{64}(7a^2-12a+12)}\)

Jest to parabola skierowana do góry, zatem osiąga minimum w wierzchołku. Współrzędne wierzchołka paraboli:
\(\displaystyle{ a=\frac{12}{14}=\frac{6}{7}}\)
Zatem szukane \(\displaystyle{ a=\frac{6}{7}, \ b=\frac{8}{7}}\).

ODPOWIEDZ