Wpisywanie liczb w kwadraty i sumowanie (A'la sudoku)

Zadania z kółek matematycznych lub obozów przygotowujących do OM. Problemy z minionych olimpiad i konkursów matematycznych.
Regulamin forum
Wszystkie tematy znajdujące się w tym dziale powinny być tagowane tj. posiadać przedrostek postaci [Nierówności], [Planimetria], itp.. Temat może posiadać wiele różnych tagów. Nazwa tematu nie może składać się z samych tagów.
PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Wpisywanie liczb w kwadraty i sumowanie (A'la sudoku)

Post autor: PoweredDragon » 29 paź 2017, o 22:14

Nie bardzo wiedziałem, gdzie to wstawić, a zadanie nie mniej jednak wydaje się ciekawe. Sam się z tym borykałem, ale to chyba nie jest typowe zadanie i nie mam pomysłu na nie (kompletnie) ^^

Dany jest \(\displaystyle{ n}\)-kąt, na którego każdym boku znajduje się \(\displaystyle{ n+1}\) kwadratów, w które można wpisać liczby ze zbioru \(\displaystyle{ \left\{ 1, 2, ... , n^2 \right\}}\) (Każda liczba może w figurze wystąpić dokładnie raz). Miarą boku nazwiemy sumę liczb wpisanych w kwadraty, które ów bok zawiera
I) Czy zawsze można wpisać te liczby tak, że dla parzystego \(\displaystyle{ n}\), naprzeciwległe boki miały te same miary, ale nie wszystkie miary boków były równe?
II) Czy zawsze można wpisać te liczby tak, że dla parzystego \(\displaystyle{ n}\), żeby boki miały parami równe miary, (\(\displaystyle{ M(1) = M(2)}\), \(\displaystyle{ M(3) = M(4)}\), ... gdzie \(\displaystyle{ M(x)}\) to miara boku \(\displaystyle{ x}\)-tego), ale nie wszystkie miary boków były równe?
III) Czy zawsze można wpisać te liczby tak, że dla a) nieparzystego, b) parzystego \(\displaystyle{ n}\) wszystkie boki oprócz jednego miałyrówne miary?
IV) Czy zawsze można wpisać te liczby tak, aby miary wszystkich boków były równe?
*V) Czy można wpisać te liczby w taki sposób, aby po utworzeniu z danego \(\displaystyle{ n}\)-kąta (\(\displaystyle{ n+1}\))-kąta (poprzez usunięcie jednego boku i dopełnienie istniejącego poprzez dodanie dwóch boków), dało się wykonać czynności opisane w punktach I, II, III, IV?

**VI) Czy na powyższe zagadnienia istnieje ogólna metoda? Przedstaw ją.
Ostatnio zmieniony 30 paź 2017, o 15:01 przez PoweredDragon, łącznie zmieniany 5 razy.

SlotaWoj
Moderator
Moderator
Posty: 4211
Rejestracja: 25 maja 2012, o 21:33
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków PL
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 757 razy

Re: Wpisywanie liczb w kwadraty i sumowanie (A'la sudoku)

Post autor: SlotaWoj » 30 paź 2017, o 00:44

  1. \(\displaystyle{ n}\)-kąt nie ma ścian, tylko boki.
  2. Co to znaczy: bok zawiera kwadraty?
  3. Wpisać liczby ze zbioru, czy pobrać (bez zwracania)?
Mam wrażenie, że temat tego zadania sformułował jakiś „obcokrajowiec”.

PoweredDragon
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 817
Rejestracja: 19 lis 2016, o 23:48
Płeć: Mężczyzna
wiek: 21
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 115 razy

Re: Wpisywanie liczb w kwadraty i sumowanie (A'la sudoku)

Post autor: PoweredDragon » 30 paź 2017, o 14:57

SlotaWoj pisze:
  1. \(\displaystyle{ n}\)-kąt nie ma ścian, tylko boki.
  2. Co to znaczy: bok zawiera kwadraty?
  3. Wpisać liczby ze zbioru, czy pobrać (bez zwracania)?
Mam wrażenie, że temat tego zadania sformułował jakiś „obcokrajowiec”.
  1. Poprawione
  2. Zostało to wyjaśnione, mogę to zobrazować w prosty sposób*
  3. Poprawione
*np. dla trójkąta mamy

---[]---
--[][]--
-[]--[]-
[][][][]

Te nawiasy to wspomniane kwadraty; To tak, jakbyśmy na każdym boku n-kąta wstawili kwadraty do wpisywania liczb

[][][][][]
[]------[]
[]------[]
[]------[]
[][][][][]

Chociaż nie wygląda, to ma to być kwadrat XD Myślę, że już wiadomo o co chodzi. I nie, nie znam pochodzenia osoby, od której się owe zadanie wzięło; po prostu podaję je dalej

ODPOWIEDZ