Kilka granic funkcji dwóch i trzech zmiennych

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
ooolllaaa8883
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 2 lis 2016, o 14:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: PL
Podziękował: 27 razy

Kilka granic funkcji dwóch i trzech zmiennych

Post autor: ooolllaaa8883 » 29 paź 2017, o 21:25

Jak się zabrać za te granice?
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\ (0,0)} \frac{2-x}{x ^{2}+ y^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y,z)\to\ (0,0,-2)} \frac{z}{x ^{2}+ y^{2} }}\)
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\ (a,0)} \frac{y ^{2}+\sin(xy)}{y}}\)
Mój pomysł na ostatnią:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\ (a,0)} \frac{y ^{2}+\sin(xy)}{y} = \lim_{(x,y)\to\(a,0)} y+\frac{sin(xy)}{xy}*x = a}\)
Myślicie, że dobrze?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3146
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1070 razy

Re: Kilka granic funkcji dwóch i trzech zmiennych

Post autor: Janusz Tracz » 29 paź 2017, o 21:32

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\ (0,0)} \frac{2-x}{x ^{2}+ y^{2} }= \frac{2}{0^{+}}= \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y,z)\to\ (0,0,-2)} \frac{z}{x ^{2}+ y^{2} }=\frac{-2}{0^{+}}=- \infty}\)

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\ (a,0)} \frac{y ^{2}+\sin (xy)}{y} = \lim_{(x,y)\to (a,0)} y+\frac{\sin (xy)}{xy} \cdot x = a}\)

Tak, masz dobry pomysł.
Ostatnio zmieniony 29 paź 2017, o 22:31 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

ooolllaaa8883
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 2 lis 2016, o 14:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: PL
Podziękował: 27 razy

Re: Kilka granic funkcji dwóch i trzech zmiennych

Post autor: ooolllaaa8883 » 29 paź 2017, o 21:33

Dzięki, nie myślałam że rozwiązanie jest takie banalne ;D
A jeszcze mam taki:
\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\ (1,1)} \frac{xy}{x-y}}\)
Czy jeśli wezmę ciagi \(\displaystyle{ ( \frac{1}{n}+1,1 )}\) i \(\displaystyle{ ( 1,\frac{1}{n}+1)}\)
To po podstawieniu pierwsza granica będzie równa \(\displaystyle{ \infty}\) a druga\(\displaystyle{ - \infty}\), czyli na tym można zakończyć dowód, ponieważ granice są różne?

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3146
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1070 razy

Re: Kilka granic funkcji dwóch i trzech zmiennych

Post autor: Janusz Tracz » 30 paź 2017, o 00:13

Tak. Granica funkcji w punkcie istnieje niezależnie od wyboru ciągu po jakim dążymy do tego punkty, Ty pokazałeś 2 ciągi dające różne wyniki co pokazuje że ta granica nie istnieje.

ooolllaaa8883
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 57
Rejestracja: 2 lis 2016, o 14:32
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: PL
Podziękował: 27 razy

Kilka granic funkcji dwóch i trzech zmiennych

Post autor: ooolllaaa8883 » 31 paź 2017, o 11:02

Mam też taką granicę i nie wiem jakie wybrać ciągi, aby udowodnić, że granica nie istnieje:
\(\displaystyle{ \lim_{ \left( x,y \right) \to\ \left( 0,1 \right) } \frac{x ^{6} }{y ^{2}-1 }}\)
I nie wiem jak policzyć granicę iterowaną:
\(\displaystyle{ \lim_{y\to\ 0} \left( \lim_{x\to\infty} \frac{x ^{y} }{1+x ^{y} } \right)}\)
Ostatnio zmieniony 31 paź 2017, o 13:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3146
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1070 razy

Re: Kilka granic funkcji dwóch i trzech zmiennych

Post autor: Janusz Tracz » 31 paź 2017, o 13:12

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to\ (0,1)} \frac{x ^{6} }{y ^{2}-1 }=\lim_{(x,y)\to\ (0,1)} \frac{x ^{6} }{\left( y-1\right) \cdot \left( y+1\right)}}\)

Teraz widać że problem z jakim masz tu do czynienia to \(\displaystyle{ \left[ \frac{0}{0} \right]}\) zaczął bym od najprostszej możliwości \(\displaystyle{ x_n=0}\) i \(\displaystyle{ y_n=1+\frac{1}{n}}\) wtedy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{0}{\frac{1}{n} \cdot \left( 2+\frac{1}{n}\right) } =0}\)

A teraz żeby dostać inny wynik zadbał bym o to by mianownik dążył do \(\displaystyle{ 0}\) "znacznie szybciej" niż licznik dąży do \(\displaystyle{ 0}\).

Niech więc \(\displaystyle{ x_n= \frac{1}{n}}\) a \(\displaystyle{ y_n=1+ \frac{1}{n^{7}}}\). Wtedy

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty } \frac{\left( \frac{1}{n} \right)^6 }{ \frac{1}{n^7} \cdot \left(2+\frac{1}{n^7}\right) }=\lim_{n \to \infty } \frac{n}{2+\frac{1}{n^7}}= \infty}\)

W następnym przykładzie wydaje mi się że wystarczy rozpatrzyć przypadki.

\(\displaystyle{ \lim_{y\to\ 0} \left( \lim_{x\to\infty} \frac{x ^{y} }{1+x ^{y} } \right)= \lim_{y \to 0}\left( \begin{cases} 1 \ \text{dla}\ y>0 \\ \frac{1}{2}\ \text{dla}\ y=0\\ 0 \ \text{dla}\ y<0 \end{cases} \right)}\)

No i teraz widać że dla \(\displaystyle{ y_n= \frac{1}{n}}\) wynik tej granicy to \(\displaystyle{ 1}\) no a dla \(\displaystyle{ y_n=-\frac{1}{n}}\) granica wynosi \(\displaystyle{ 0}\)

ODPOWIEDZ