Znaleźć wszystkie punkty ciągłości funkcji.

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
pawlo392
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1076
Rejestracja: 19 sty 2015, o 18:10
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Jasło/Kraków
Podziękował: 269 razy
Pomógł: 34 razy

Znaleźć wszystkie punkty ciągłości funkcji.

Post autor: pawlo392 » 29 paź 2017, o 21:15

Mamy funkcje określoną następująco :
\(\displaystyle{ f(x,y)=\begin{cases} \arccos (x^2+y^2) &\text{dla } x^2+y^2 \le 1\\(x^2-3y^2) \ln (4x^2+y^2) &\text{dla } x^2+y^2>1 \end{cases}}\).

Zatem mamy ciągłość wewnątrz i na zewnątrz okręgu. Jedynie gdzie się może zepsuć to na brzegu..

Awatar użytkownika
Janusz Tracz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3141
Rejestracja: 13 sie 2016, o 15:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: hrubielowo
Podziękował: 73 razy
Pomógł: 1068 razy

Re: Znaleźć wszystkie punkty ciągłości funkcji.

Post autor: Janusz Tracz » 29 paź 2017, o 21:28

To może skoro mamy takie ładne kółko to przejdziemy na współrzędne biegunowe.
Niech \(\displaystyle{ x=r\cos\phi}\) oraz \(\displaystyle{ y=r\sin \phi}\) wtedy liczymy a raczej sprawdzamy czy:

\(\displaystyle{ \lim_{r \to 1^{+}}r^2 \cdot \left( \cos^2\phi-3\sin^2\phi\right) \cdot \ln\left( r^2(4\cos^2\phi+\sin^2\phi)\right)=0}\)

Widać że tak nie jest dla każdego kąta \(\displaystyle{ \phi}\) dlatego ciągłości nie ma.

ODPOWIEDZ