surjekcja i injekcja

[lolo666]

Mam za zadanie czy dana jest funkcja jest surjekcja i injekcja.
\(\displaystyle{ f: \RR^{2} \rightarrow \RR^{2}}\)

Funkcja określona jest wzorem:

\(\displaystyle{ f(x,y) = (x+2y, xy)}\)
O ile wiem jak się zabrać za zadanie, kiedy jest określony zbiór liczb rzeczywistych, to tutaj nie wiem za co się zabrać przy zbiorze punktów na płaszczyźnie i trochę się tu gubię.
Mógłby ktoś wytłumaczyć?
Jak tak patrzę na tę funkcję to wygląda na to, że będzie surjekcją, ale nie injekcją.

Z góry dziękuję za wszelkie rady

[szw1710]

Do injekcji: \(\displaystyle{ f\left(x,-\frac{1}{2}x\right)=\left(0,-\frac{1}{2}x^2\right).}\)

Do surjekcji: rozwiąż układ równań \(\displaystyle{ u=x+2y,\;v=xy.}\) Czy ma on rozwiązanie \(\displaystyle{ x,y}\) dla każdych \(\displaystyle{ u,v}\)? Czy istnieją \(\displaystyle{ x,y}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x,y)=(0,1)}\)?

[lolo666]

Do injekcji myślałem coś takiego

niech

\(\displaystyle{ x_{1} = 1\\
y_{1} = 1}\)

oraz

\(\displaystyle{ x_{2} = -1\\
y_{2} = -1}\)

Wtedy wartość \(\displaystyle{ xy}\) jest taka sama co dowodzi, że nie jest injekcją. Pytanie, czy dobrze to robię, czy raczej w złym kierunku.

Co do surjekcji to nie rozumiem za bardzo po co ten układ równań

[Jan Kraszewski]

\(\displaystyle{ x_{1} = 1\\
y_{1} = 1}\)

oraz

\(\displaystyle{ x_{2} = -1\\
y_{2} = -1}\)

Wtedy wartość \(\displaystyle{ xy}\) jest taka sama co dowodzi, że nie jest injekcją. Pytanie, czy dobrze to robię, czy raczej w złym kierunku.

Źle to robisz, bo \(\displaystyle{ f(1,1)=(3,1)\neq(-3,1)=f(-1,-1)}\). Ale kierunek jest dobry, a szw1710 pokazał Ci, gdzie szukać:

Do injekcji: \(\displaystyle{ f\left(x,-\frac{1}{2}x\right)=\left(0,-\frac{1}{2}x^2\right).}\)

Co do surjekcji to nie rozumiem za bardzo po co ten układ równań

Bo gdyby funkcja była surjekcją, to ten układ miałby zawsze rozwiązanie. Czy dobrze rozumiesz pojęcie surjekcji?

JK

[lolo666]

Pojęcie surjekcji rozumiem i źle zadałem pytanie, bo nie po co, a jak to rozwiązać, bo jeszcze nie kapuję, choć w injekcji rozumiem, co zrobiłem źle i zastosuje tak, jak @szw1710

[Jan Kraszewski]

jak to rozwiązać, bo jeszcze nie kapuję

Czy istnieją \(\displaystyle{ x,y}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x,y)=(0,1)}\)?

JK