surjekcja i injekcja

Algebra zbiorów. Relacje, funkcje, iloczyny kartezjańskie... Nieskończoność, liczby kardynalne... Aksjomatyka.
lolo666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 22 wrz 2017, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: City

surjekcja i injekcja

Post autor: lolo666 » 29 paź 2017, o 20:47

Mam za zadanie czy dana jest funkcja jest surjekcja i injekcja.
\(\displaystyle{ f: \RR^{2} \rightarrow \RR^{2}}\)

Funkcja określona jest wzorem:

\(\displaystyle{ f(x,y) = (x+2y, xy)}\)
O ile wiem jak się zabrać za zadanie, kiedy jest określony zbiór liczb rzeczywistych, to tutaj nie wiem za co się zabrać przy zbiorze punktów na płaszczyźnie i trochę się tu gubię.
Mógłby ktoś wytłumaczyć?
Jak tak patrzę na tę funkcję to wygląda na to, że będzie surjekcją, ale nie injekcją.

Z góry dziękuję za wszelkie rady
Ostatnio zmieniony 29 paź 2017, o 22:03 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
szw1710
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 18811
Rejestracja: 1 cze 2010, o 22:13
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Cieszyn
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3746 razy

surjekcja i injekcja

Post autor: szw1710 » 29 paź 2017, o 21:18

Do injekcji: \(\displaystyle{ f\left(x,-\frac{1}{2}x\right)=\left(0,-\frac{1}{2}x^2\right).}\)

Do surjekcji: rozwiąż układ równań \(\displaystyle{ u=x+2y,\;v=xy.}\) Czy ma on rozwiązanie \(\displaystyle{ x,y}\) dla każdych \(\displaystyle{ u,v}\)? Czy istnieją \(\displaystyle{ x,y}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x,y)=(0,1)}\)?

lolo666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 22 wrz 2017, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: City

surjekcja i injekcja

Post autor: lolo666 » 29 paź 2017, o 21:31

Do injekcji myślałem coś takiego

niech

\(\displaystyle{ x_{1} = 1\\ y_{1} = 1}\)

oraz

\(\displaystyle{ x_{2} = -1\\ y_{2} = -1}\)

Wtedy wartość \(\displaystyle{ xy}\) jest taka sama co dowodzi, że nie jest injekcją. Pytanie, czy dobrze to robię, czy raczej w złym kierunku.

Co do surjekcji to nie rozumiem za bardzo po co ten układ równań
Ostatnio zmieniony 29 paź 2017, o 22:06 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nie zostawiaj pustych linii w tagach [latex] [/latex]. Nowa linia to \\.

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

surjekcja i injekcja

Post autor: Jan Kraszewski » 29 paź 2017, o 22:16

lolo666 pisze:\(\displaystyle{ x_{1} = 1\\ y_{1} = 1}\)

oraz

\(\displaystyle{ x_{2} = -1\\ y_{2} = -1}\)

Wtedy wartość \(\displaystyle{ xy}\) jest taka sama co dowodzi, że nie jest injekcją. Pytanie, czy dobrze to robię, czy raczej w złym kierunku.
Źle to robisz, bo \(\displaystyle{ f(1,1)=(3,1)\neq(-3,1)=f(-1,-1)}\). Ale kierunek jest dobry, a szw1710 pokazał Ci, gdzie szukać:
szw1710 pisze:Do injekcji: \(\displaystyle{ f\left(x,-\frac{1}{2}x\right)=\left(0,-\frac{1}{2}x^2\right).}\)
lolo666 pisze:Co do surjekcji to nie rozumiem za bardzo po co ten układ równań
Bo gdyby funkcja była surjekcją, to ten układ miałby zawsze rozwiązanie. Czy dobrze rozumiesz pojęcie surjekcji?

JK

lolo666
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 153
Rejestracja: 22 wrz 2017, o 20:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: City

surjekcja i injekcja

Post autor: lolo666 » 29 paź 2017, o 22:36

Pojęcie surjekcji rozumiem i źle zadałem pytanie, bo nie po co, a jak to rozwiązać, bo jeszcze nie kapuję, choć w injekcji rozumiem, co zrobiłem źle i zastosuje tak, jak @szw1710

Jan Kraszewski
Administrator
Administrator
Posty: 27286
Rejestracja: 20 mar 2006, o 21:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 4594 razy

surjekcja i injekcja

Post autor: Jan Kraszewski » 29 paź 2017, o 22:39

lolo666 pisze:jak to rozwiązać, bo jeszcze nie kapuję
szw1710 pisze:Czy istnieją \(\displaystyle{ x,y}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x,y)=(0,1)}\)?
JK

ODPOWIEDZ