Moment rozkładu Pareto

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
matematyk888
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 15 maja 2012, o 14:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 18 razy

Moment rozkładu Pareto

Post autor: matematyk888 » 29 paź 2017, o 18:54

Cześć,

w zadaniu 11 z arkusza zadań:

http://dydmat.mimuw.edu.pl/sites/defaul ... ktuar6.pdf

użyto faktu jakoby:

\(\displaystyle{ E( \lambda + X_{i})^{k} = \frac{3}{3+k}, k \ge 0}\)

Czy ktoś byłby w stanie wytłumaczyć mi skąd bierze się za zależność?

Z góry wielkie dzięki.

janusz47
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6592
Rejestracja: 18 mar 2009, o 16:24
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 20 razy
Pomógł: 1426 razy

Moment rozkładu Pareto

Post autor: janusz47 » 29 paź 2017, o 19:49

Cześć

Ta zależność bierze się z określenia momentu centralnego rzędu \(\displaystyle{ k}\) zmiennej losowej \(\displaystyle{ X_{i}, \ \ i=1,2,...,n}\) o rozkładzie Pareto z parametrami:

\(\displaystyle{ \theta =3, \ \ \lambda =1.}\)

\(\displaystyle{ E(\lambda - X_{i})^{k} = \frac{\theta\cdot \lambda^{k}}{\theta + k}.}\)

matematyk888
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 15 maja 2012, o 14:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 18 razy

Re: Moment rozkładu Pareto

Post autor: matematyk888 » 29 paź 2017, o 20:15

Dzięki za odpowiedź, natomiast nadal nie "łapię".

Po pierwsze, w Twoim wzorze mamy minus, po drugie, nie wiem na ile moja (nie)znajomość rozkładu Pareto ma tutaj znaczenie, ale znam definicję momentu centralnego rzędu \(\displaystyle{ k}\) jako:

\(\displaystyle{ E( X_{i} - EX_{i}) ^{k}}\)

Po drugie, w tym konkretnym zadaniu, argument zadanej wartości oczekiwanej, czyli:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} \frac{1}{ \lambda + X_{i} }}\)

Dlaczego w/w zależność (fakt) ma tutaj zastosowanie, a nie np. jakaś jej odwrotność?

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15206
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Moment rozkładu Pareto

Post autor: Premislav » 29 paź 2017, o 20:22

matematyk888, to jest ewidentny błąd w rozwiązaniu (ale możliwe, że to tzw. literówka), powinno być dla odwrotności (i żeby to wyliczyć, wystarczy scałkować, ewentualnie sprowadzając np. do jakiejś reprezentacji rozkładu beta), przecież dla rozkładu Pareta coś takiego jak
\(\displaystyle{ \mathbf{E}[X_i+\lambda]^k}\) gdzie \(\displaystyle{ k\ge 0}\) nawet nie dla wszystkich \(\displaystyle{ k}\) dodatnich może istnieć (wystarczy spojrzeć na funkcję gęstości, by dojść do tego wniosku), więc wyszedłby jakiś bubel.

matematyk888
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 41
Rejestracja: 15 maja 2012, o 14:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 18 razy

Re: Moment rozkładu Pareto

Post autor: matematyk888 » 29 paź 2017, o 20:30

Czyli zależność:

\(\displaystyle{ E({ \frac{1}{\lambda + X_{i} }} ) ^{k} = \frac{\theta\cdot \lambda^{k}}{\theta + k}}\)

już zachodzi w sposób prawidłowy?

Edit: proszę o potwierdzenie, bo nie mam w tej chwili policzyć całki (podróż). Sorry za namolność.
Edit2: Ok, już widzę, że to zadziała, dzięki wielkie za pomoc

ODPOWIEDZ