Przedstawienie w postaci trygonometrycznej

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
zer012
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 29 paź 2017, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Przedstawienie w postaci trygonometrycznej

Post autor: zer012 » 29 paź 2017, o 17:45

Mam przedstawić liczby w postaci trygonometrycznej jednak nie wiem w jaki sposób mam wyliczyć kąty.

\(\displaystyle{ 1.\ z = \left( 1+2i \right) \left( 1-i \right) = 3+i\\ \left| z \right| = \sqrt{10} \\ \cos \alpha = \frac{3}{ \sqrt{10} } \\ \sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{10} }\\ z = \sqrt{10} \left( \cos \left( \arctan \left( \frac{1}{3} \right) \right) + i\sin \left( \arctan \left( \frac{1}{3} \right) \right) \right) ???}\)

\(\displaystyle{ 2.\ z = 1 + \cos \frac{ \pi }{4} + \sin \frac{ \pi }{4}}\)
Ostatnio zmieniony 29 paź 2017, o 22:46 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nie zostawiaj pustych linii w tagach [latex] [/latex]. Nowa linia to \\. Punkt 2.7 instrukcji LaTeX-a. Funkcje matematyczne należy zapisywać: sinus - \sin, logarytm - \log, logarytm naturalny - \ln itd.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Przedstawienie w postaci trygonometrycznej

Post autor: Premislav » 29 paź 2017, o 17:52

1. No tak, nic lepszego z tym nie zrobisz.
2. Chyba miało być
\(\displaystyle{ 1+\cos \frac \pi 4+i\sin \frac \pi 4}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ 1=\cos 0+i\sin 0}\), skorzystaj ze wzorów na sumę cosinusów i sumę sinusów.

zer012
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 29 paź 2017, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Przedstawienie w postaci trygonometrycznej

Post autor: zer012 » 29 paź 2017, o 18:11

\(\displaystyle{ \cos 0+i\sin 0 + \cos \frac{ \pi }{4} + i\sin \frac{ \pi }{4} = 2\cos \frac{ \pi }{8} \cos \frac{ \pi }{8} + 2i\sin \frac{ \pi }{8} \cos \frac{ \pi }{8} =\\ = 2\cos \frac{ \pi }{8} \left( \cos \frac{ \pi }{8} + i\sin \frac{ \pi }{8} \right)}\)

A co w przypadku \(\displaystyle{ \left( 2+i \right) ^{6}}\) ? Podczas przeliczeń mam użyć postaci trygonometrycznej lub wykładniczej.
Ostatnio zmieniony 29 paź 2017, o 22:45 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 3 razy.
Powód: Nie zostawiaj pustych linii w tagach [latex] [/latex]. Nowa linia to \\.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Przedstawienie w postaci trygonometrycznej

Post autor: Premislav » 29 paź 2017, o 18:24

\(\displaystyle{ 2+i=\sqrt{5}\left( \cos \left(\arctg \frac{1}{2} \right)+i\sin \left(\arctg \frac{1}{2} \right) \right)}\) i wzór de Moivre'a.
Ale uważam, że to nie wygląda na wygodne podejście (to eufemizm) i że narzucanie metody jest bardzo nie w porządku (już były o tym kiedyś dyskusje na forum, nie zamierzam do tego wracać, bo wiem, że i tak mam rację w tej sprawie).

zer012
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 29 paź 2017, o 17:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków

Przedstawienie w postaci trygonometrycznej

Post autor: zer012 » 29 paź 2017, o 18:27

Dzięki za wyjaśnienie

ODPOWIEDZ