Twierdzenie odwrotne do twierdzenia o siecznych

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Awatar użytkownika
VirtualUser
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 443
Rejestracja: 2 wrz 2017, o 11:13
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 113 razy
Pomógł: 15 razy

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia o siecznych

Post autor: VirtualUser » 29 paź 2017, o 17:29

Witam, czy prawdą jest, że jeżeli

dane są dwa skrzyżowane odcinki \(\displaystyle{ CD}\) oraz \(\displaystyle{ AB}\) i punkt \(\displaystyle{ P}\) przecięcia miedzy nimi oraz
\(\displaystyle{ \left| PC\right| \cdot \left| PD \right| = \left| PA \right| \cdot \left| PB\right|}\) to przez wierzchołki czworokąta \(\displaystyle{ ADBC}\) można poprowadzić okrąg?

matmatmm
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2012
Rejestracja: 14 cze 2011, o 11:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Sosnowiec
Podziękował: 77 razy
Pomógł: 292 razy

Re: Twierdzenie odwrotne do twierdzenia o siecznych

Post autor: matmatmm » 29 paź 2017, o 20:18

Korzystając z przystawania kątów wierzchołkowych i z podanej równości można udowodnić podobieństwo trójkątów \(\displaystyle{ \triangle APC}\) i \(\displaystyle{ \triangle DPB}\). Z podobieństwa wynika \(\displaystyle{ \angle PAC=\angle PDB}\) i jest to warunek wystarczający na opisanie okręgu.

Kaf
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 826
Rejestracja: 8 wrz 2013, o 11:31
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 187 razy

Re: Twierdzenie odwrotne do twierdzenia o siecznych

Post autor: Kaf » 29 paź 2017, o 20:40

A odpowiadając na Twoje pytanie: tak. Opisz okrąg na wybranych 3 punktach tego czworokąta, np. na \(\displaystyle{ \Delta ABC}\). Wtedy prosta \(\displaystyle{ CD}\) przecina ten okrąg w jakimś punkcie \(\displaystyle{ X}\), wobec tego \(\displaystyle{ PA\cdot PB = PC \cdot PX}\), a zważywszy na fakt, że \(\displaystyle{ PC\right \cdot PD \right| = PA \cdot PB}\) mamy \(\displaystyle{ PX=PD}\). Po chwili zastanowienia otrzymujemy \(\displaystyle{ X=D}\), czyli punkty \(\displaystyle{ A, B, C, D}\) leżą na jednym okręgu.

Swoją drogą w tym twierdzeniu/twierdzeniach zupełnie nie ma znaczenia czy punkt \(\displaystyle{ P}\) zdefiniujemy jako punkt przecięcia przekątnych \(\displaystyle{ ABCD}\) czy jako punkt przecięcia przedłużeń boków!

ODPOWIEDZ