Wykaż, że a dowolnej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ n}\) i dowolnych liczb \(\displaystyle{ a,b,c \neq 0}\)
zachodzi:
\(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}= \frac{1}{a+b+c} \Rightarrow \frac{1}{ a^{n} } + \frac{1}{ b^{n} }+ \frac{1}{ c^{n} }= \frac{1}{ a^{n}+ b^{n}+ c^{n} }}\)
Wykazać implikację
- Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Wykazać implikację
Jak ktoś nie lubi takich ułamków (np. ja), to można dla wygody położyć \(\displaystyle{ x=\frac 1 a, \ y=\frac 1 b, \ z=\frac 1 c}\) i założenie przyjmuje formę
\(\displaystyle{ x+y+z= \frac{xyz}{xy+yz+zx}}\), a stąd
(*) \(\displaystyle{ (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz}\), zaś teza wówczas przyjmuje formę:
dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego, przy powyższym założeniu (*), jest
\(\displaystyle{ (x^n+y^n+z^n)((xy)^n+(yz)^n+(zx)^n)=(xyz)^n}\)
I tutaj może się przydać taka tożsamość:
\(\displaystyle{ (x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz}\)
\(\displaystyle{ x+y+z= \frac{xyz}{xy+yz+zx}}\), a stąd
(*) \(\displaystyle{ (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz}\), zaś teza wówczas przyjmuje formę:
dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego, przy powyższym założeniu (*), jest
\(\displaystyle{ (x^n+y^n+z^n)((xy)^n+(yz)^n+(zx)^n)=(xyz)^n}\)
I tutaj może się przydać taka tożsamość:
\(\displaystyle{ (x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz}\)