Wykazać implikację

Proste problemy dotyczące wzorów skróconego mnożenia, ułamków, proporcji oraz innych przekształceń.
Maslow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 7 lut 2015, o 17:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 31 razy

Wykazać implikację

Post autor: Maslow » 29 paź 2017, o 16:49

Wykaż, że a dowolnej liczby nieparzystej \(\displaystyle{ n}\) i dowolnych liczb \(\displaystyle{ a,b,c \neq 0}\)
zachodzi:

\(\displaystyle{ \frac{1}{a}+ \frac{1}{b}+ \frac{1}{c}= \frac{1}{a+b+c} \Rightarrow \frac{1}{ a^{n} } + \frac{1}{ b^{n} }+ \frac{1}{ c^{n} }= \frac{1}{ a^{n}+ b^{n}+ c^{n} }}\)

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19225
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Wykazać implikację

Post autor: a4karo » 29 paź 2017, o 17:17

Wsk. spróbuj pokazać, że z równości po lewej stronie wynika, że dwie spośród liczb są liczbami przeciwnymi.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15212
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5047 razy

Re: Wykazać implikację

Post autor: Premislav » 29 paź 2017, o 17:44

Jak ktoś nie lubi takich ułamków (np. ja), to można dla wygody położyć \(\displaystyle{ x=\frac 1 a, \ y=\frac 1 b, \ z=\frac 1 c}\) i założenie przyjmuje formę
\(\displaystyle{ x+y+z= \frac{xyz}{xy+yz+zx}}\), a stąd
(*) \(\displaystyle{ (x+y+z)(xy+yz+zx)=xyz}\), zaś teza wówczas przyjmuje formę:
dla dowolnego \(\displaystyle{ n}\) nieparzystego, przy powyższym założeniu (*), jest
\(\displaystyle{ (x^n+y^n+z^n)((xy)^n+(yz)^n+(zx)^n)=(xyz)^n}\)

I tutaj może się przydać taka tożsamość:
\(\displaystyle{ (x+y)(y+z)(z+x)=(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz}\)

ODPOWIEDZ