Indukcja matematyczna i dwumian Newtona

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
Maslow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 7 lut 2015, o 17:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 31 razy

Indukcja matematyczna i dwumian Newtona

Post autor: Maslow » 29 paź 2017, o 14:11

Wykaż, że dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in N ^{*}}\):

\(\displaystyle{ {n \choose 0}+ {n \choose 2}+ {n \choose 4}+.....= {n \choose 1} + {n \choose 3}+...=2 ^{n-1}}\)

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7895
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3093 razy

Re: Indukcja matematyczna i dwumian Newtona

Post autor: kerajs » 29 paź 2017, o 14:19

wykorzystaj:
\(\displaystyle{ {n \choose k} = {n-1 \choose k-1} + {n-1 \choose k}}\)

Maslow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 7 lut 2015, o 17:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 31 razy

Re: Indukcja matematyczna i dwumian Newtona

Post autor: Maslow » 29 paź 2017, o 15:02

A to:

\(\displaystyle{ {2n \choose 1}+ {2n \choose 3}+...+ {2n \choose n-1}=2 ^{2n-2}}\) dla \(\displaystyle{ n}\) parzystych

Doszłam do tego że: \(\displaystyle{ {2n+2 \choose k}= {2n \choose k-2}+2 {2n \choose k-1}+ {2n \choose k}}\)

ale nic mi to nie dało :/

Awatar użytkownika
kerajs
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 7895
Rejestracja: 17 maja 2013, o 10:23
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 243 razy
Pomógł: 3093 razy

Re: Indukcja matematyczna i dwumian Newtona

Post autor: kerajs » 29 paź 2017, o 15:10

\(\displaystyle{ {2n \choose 1}+ {2n \choose 3}+...+ {2n \choose n-1}=\\= \left( {2n-1 \choose 0}+ {2n-1 \choose 1}\right) +\left( {2n-1 \choose 2}+ {2n-1 \choose 3}\right) +...+ \left( {2n-1 \choose n-2}+ {2n-1 \choose n-1}\right) =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}\left[2\left( {2n-1 \choose 0}+ {2n-1 \choose 1}\right) +2\left( {2n-1 \choose 2}+ {2n-1 \choose 3}\right) +...+ 2\left( {2n-1 \choose n-2}+ {2n-1 \choose n-1}\right) \right]}\)
Teraz wykorzystaj: \(\displaystyle{ {n \choose k}= {n \choose n-k}}\) aby dostać cały poziom trójkąta Pascala

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Indukcja matematyczna i dwumian Newtona

Post autor: Premislav » 29 paź 2017, o 15:12

Tu nie potrzeba żadnej indukcji:
zauważ, że \(\displaystyle{ {2n \choose k}={2n \choose 2n-k}}\), więc
\(\displaystyle{ {2n \choose 1}+ {2n \choose 3}+...+ {2n \choose n-1}={2n \choose 2n-1}+{2n \choose 2n-3}+\ldots+{2n\choose n+1}}\)
a z poprzedniego zadania suma tych dwóch stron równości wynosi \(\displaystyle{ 2^{2n-1}}\)

Maslow
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 64
Rejestracja: 7 lut 2015, o 17:37
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 31 razy

Re: Indukcja matematyczna i dwumian Newtona

Post autor: Maslow » 29 paź 2017, o 20:16

Tu jest jeszcze jedno:
\(\displaystyle{ {n \choose 0}+ {n \choose 3}+ {n \choose 6}+....=\frac{1}{3} \left( 2^{n}+2\cos \left( \frac{n \pi }{3} \right) \right)}\)

Ten cosinus mnie pokonał
Ostatnio zmieniony 29 paź 2017, o 22:26 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Poprawa wiadomości.

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15207
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 161 razy
Pomógł: 5046 razy

Re: Indukcja matematyczna i dwumian Newtona

Post autor: Premislav » 29 paź 2017, o 20:24

Zajrzyj tutaj:
242635.htm

ODPOWIEDZ