Współczynniki funkcji kwadratowej a jej miejsca zerowe

Zagadnienia dot. funkcji kwadratowej. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI kwadratowe i pierwiastkowe. Układy równań stopnia 2.
deciver
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 7 maja 2014, o 16:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1 raz

Współczynniki funkcji kwadratowej a jej miejsca zerowe

Post autor: deciver » 29 paź 2017, o 12:51

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(x)=ax ^{2}+bx+c}\), gdzie \(\displaystyle{ a,b,c \in Z}\)
Funkcja ma dwa różne dodatnie miejsca zerowe.
Mamy sprwadzić czy z powyższego wynika, że
1. \(\displaystyle{ x^{2} _{1} +x ^{2} _{2}}\) jest liczbą wymierną
2. dla \(\displaystyle{ a=1}\) liczba\(\displaystyle{ x ^{3} _{1} +x ^{3} _{2}}\) jest naturalna i złożona
3. jeśli \(\displaystyle{ a, b, c}\) są nieparzyste to \(\displaystyle{ x _{1}, x _{2} \in Z}\)
4. \(\displaystyle{ x _{1}+ x_{2} \in Z}\)

Pierwsze dwa punkty uznałem za prawdziwe, ale bardziej na czuja, niż wyliczając. Bo nie mogę wyobrazić sobie funkcji kwadratowej, której suma sześcianów nie jest złożona, albo żeby z współczynników całkowitych uzyskać coś niewymiernego, gorzej natomiast z dwoma ostatnimi.

Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Re: Współczynniki funkcji kwadratowej a jej miejsca zerowe

Post autor: wujomaro » 29 paź 2017, o 13:03

Zastosuj wzory Viete'a.
Pozdrawiam!

deciver
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 83
Rejestracja: 7 maja 2014, o 16:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Toruń
Podziękował: 1 raz

Re: Współczynniki funkcji kwadratowej a jej miejsca zerowe

Post autor: deciver » 30 paź 2017, o 19:15

Dobrze za pomocą wzorów Viete’a poradziłem sobie z punktami 1, 2, 4. Jak dowieść 3 punkt.

Awatar użytkownika
wujomaro
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2154
Rejestracja: 27 lis 2009, o 19:02
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 11 razy
Pomógł: 299 razy

Re: Współczynniki funkcji kwadratowej a jej miejsca zerowe

Post autor: wujomaro » 30 paź 2017, o 19:24

Liczba nieparzysta ma postać \(\displaystyle{ 2n+1}\). Możesz w podobny sposób oznaczyć a, b i c i pokombinować z tym.
Pozdrawiam!

ODPOWIEDZ