Witam
Za pomocą indukcji matematycznej udowodnij, że dla wszystkich liczb
naturalnych dodatnich \(\displaystyle{ n \in \NN^+}\):
\(\displaystyle{ 4^{n-1} \ge n ^{2}}\)
Tutaj najpierw potwierdzam, że dla \(\displaystyle{ n = 1}\) nierówność jest prawdziwa, potem zamieniam wszystkie \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ (n+1)}\)
\(\displaystyle{ 4 ^{(n+1)-1} \ge (n+1) ^{2}}\) co chciałem przekształcić na \(\displaystyle{ 4 \cdot 4^{n-1} \ge (n+1)^{2}}\)
Ale w tym momencie nie za bardzo wiem jak właściwie udowodnić tą nierówność.
W tym samym zadaniu również jest podpunkt, w którym trzeba udowodnić, że liczba
\(\displaystyle{ 7n-4n}\) jest podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\), w którym utykam po udowodnieniu, że zachodzi dla \(\displaystyle{ n=1}\) i zamienieniu \(\displaystyle{ n}\) na \(\displaystyle{ n+1}\).
Udowadnianie nierówności indukcją matematyczną
-
Uejack
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 4 paź 2015, o 13:37
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warta Bolesławiecka
- Podziękował: 1 raz
Udowadnianie nierówności indukcją matematyczną
Ostatnio zmieniony 29 paź 2017, o 14:51 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Używaj LaTeXa do wszystkich wyrażeń matematycznych. Symbol mnożenia to \cdot.
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15687
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 196 razy
- Pomógł: 5220 razy
Re: Udowadnianie nierówności indukcją matematyczną
Przedstawię rozwiązania obu zadanek (tam w tym drugim pewnie miało być \(\displaystyle{ 7^n-4^n}\).
1) dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ nin NN^+}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 4^{n-1} ge n^2}\).
\(\displaystyle{ 1^{circ}}\) Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ L=4^{1-1}=4^{0}=1ge 1^2=P}\), czyli się zgadza.
\(\displaystyle{ 2^{circ}}\) Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n in NN^+}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 4^{n-1}ge n^2}\). Wówczas mamy \(\displaystyle{ 4^{n}=4cdot 4^{n-1}ge 4n^2}\) na mocy założenia indukcyjnego. Chcielibyśmy więc pokazać, że
\(\displaystyle{ 4n^2ge (n+1)^2}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n in NN^+}\), co zakończyłoby dowód. Równoważnie, po rozwinięciu prawej strony:
\(\displaystyle{ 3n^2-2n-1ge 0\ 2n(n-1)+(n-1)(n+1)ge 0}\)
a to jak widać jest prawdą dla dowolnego \(\displaystyle{ n ge 1}\) (lewa strona jest wówczas sumą liczb nieujemnych, czyli liczbą nieujemną). Zatem otrzymaliśmy
\(\displaystyle{ 4^{n}ge (n+1)^2}\). Czyli pokazaliśmy, że jeżeli
\(\displaystyle{ T(n)}\) jest prawdziwe, to \(\displaystyle{ T(n+1)}\) jest prawdziwe, gdzie
\(\displaystyle{ T(n): 4^{n-1}ge n^2}\)
Co kończy dowód.
2) dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ n in NN^+}\) liczba \(\displaystyle{ 7^n-4^n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).
\(\displaystyle{ 1^{circ}}\) dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ 7-4=3}\), oczywiście jest to liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
\(\displaystyle{ 2^{circ}}\) Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n in NN^+}\) liczba \(\displaystyle{ 7^n-4^n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\). Pokażemy, że wówczas również liczba \(\displaystyle{ 7^{n+1}-4^{n+1}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\). Niech więc, zgodnie z założeniem indukcyjnym, \(\displaystyle{ 7^n-4^n=3k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k in NN}\). Wtedy
\(\displaystyle{ 7^{n+1}-4^{n+1}=7cdot (7^n-4^n)+3cdot 4^n=7cdot 3k+3cdot 4^n=3cdot (7k+4^n)}\) i jak widać jest to liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
Co kończy dowód.
Warto też, żebyś zajrzał np. do tego wątku: 425351.htm
Tam już wyjaśniono trochę wątpliwości odnośnie indukcji, może to w czymś pomoże.
1) dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ nin NN^+}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 4^{n-1} ge n^2}\).
\(\displaystyle{ 1^{circ}}\) Dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ L=4^{1-1}=4^{0}=1ge 1^2=P}\), czyli się zgadza.
\(\displaystyle{ 2^{circ}}\) Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n in NN^+}\) zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 4^{n-1}ge n^2}\). Wówczas mamy \(\displaystyle{ 4^{n}=4cdot 4^{n-1}ge 4n^2}\) na mocy założenia indukcyjnego. Chcielibyśmy więc pokazać, że
\(\displaystyle{ 4n^2ge (n+1)^2}\) dla dowolnego \(\displaystyle{ n in NN^+}\), co zakończyłoby dowód. Równoważnie, po rozwinięciu prawej strony:
\(\displaystyle{ 3n^2-2n-1ge 0\ 2n(n-1)+(n-1)(n+1)ge 0}\)
a to jak widać jest prawdą dla dowolnego \(\displaystyle{ n ge 1}\) (lewa strona jest wówczas sumą liczb nieujemnych, czyli liczbą nieujemną). Zatem otrzymaliśmy
\(\displaystyle{ 4^{n}ge (n+1)^2}\). Czyli pokazaliśmy, że jeżeli
\(\displaystyle{ T(n)}\) jest prawdziwe, to \(\displaystyle{ T(n+1)}\) jest prawdziwe, gdzie
\(\displaystyle{ T(n): 4^{n-1}ge n^2}\)
Co kończy dowód.
2) dla dowolnej liczby \(\displaystyle{ n in NN^+}\) liczba \(\displaystyle{ 7^n-4^n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\).
\(\displaystyle{ 1^{circ}}\) dla \(\displaystyle{ n=1}\) mamy \(\displaystyle{ 7-4=3}\), oczywiście jest to liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
\(\displaystyle{ 2^{circ}}\) Przypuśćmy, że dla pewnego \(\displaystyle{ n in NN^+}\) liczba \(\displaystyle{ 7^n-4^n}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\). Pokażemy, że wówczas również liczba \(\displaystyle{ 7^{n+1}-4^{n+1}}\) dzieli się przez \(\displaystyle{ 3}\). Niech więc, zgodnie z założeniem indukcyjnym, \(\displaystyle{ 7^n-4^n=3k}\) dla pewnego \(\displaystyle{ k in NN}\). Wtedy
\(\displaystyle{ 7^{n+1}-4^{n+1}=7cdot (7^n-4^n)+3cdot 4^n=7cdot 3k+3cdot 4^n=3cdot (7k+4^n)}\) i jak widać jest to liczba podzielna przez \(\displaystyle{ 3}\).
Co kończy dowód.
Warto też, żebyś zajrzał np. do tego wątku: 425351.htm
Tam już wyjaśniono trochę wątpliwości odnośnie indukcji, może to w czymś pomoże.