Opuszczenie wartości bezwzględnej

Definicja, własności - specyfika równań i nierówności.
Bierp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 29 kwie 2017, o 14:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy

Opuszczenie wartości bezwzględnej

Post autor: Bierp » 29 paź 2017, o 12:01

Polecenie brzmi: Wiadomo, że \(\displaystyle{ a>0}\), \(\displaystyle{ b<0}\) i \(\displaystyle{ c \in R}\). Jeżeli to możliwe, zapisz poniższe wyrażenie bez wartości bezwzględnej. Wyrażenie:\(\displaystyle{ \left| (a+b)^{2} - 4ab\right|}\). Wg. mnie skoro w założeniu jest mowa o ujemności wyrażenia \(\displaystyle{ b}\) to należy zmienić znak w przykładzie wszędzie tam gdzie znajduje się to wyrażenie na przeciwny, po czym otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left| (a-b)^{2} + 4ab \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| a^{2}-2ab+ b^{2}+4ab \right|}\)
\(\displaystyle{ \left| a^{2}+2ab+ b^{2}\right|}\)
\(\displaystyle{ \left| (a+b)^{2} \right|}\)
\(\displaystyle{ (a+b)^{2}}\)
Z racji tego że wewnątrz wartości bezwzględnej mamy same plusy to możemy ją opuścić. Takie jest moje rozumowianie.
Jednak odpowiedź do tego zadania jest inna, a dokładnie po opuszczeniu wartości bezwzględnej jej zawartość powinna wyglądać następująco \(\displaystyle{ (a-b)^{2}}\). Pytanie brzmi dlaczego? Gdzie popełniłem błąd?

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19208
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Opuszczenie wartości bezwzględnej

Post autor: a4karo » 29 paź 2017, o 12:12

Weź sobie np \(\displaystyle{ a=2,\ b=1-}\) i prześledź swoje rozumowanie.

Bierp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 29 kwie 2017, o 14:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy

Opuszczenie wartości bezwzględnej

Post autor: Bierp » 29 paź 2017, o 12:43

Zakładam, że \(\displaystyle{ a=2, b=-1}\)
\(\displaystyle{ \left| (2+\left( -1\right) )^{2}-4 \cdot 2 \cdot \left( -1\right) \right|= \left| 1^{2}+4 \cdot 2 \cdot 1\right| =\left| 9\right|=9}\)
Ten sposób rozwiązania sugeruje, że mógłbym opuścić wartość bezwzględną pozostawiając:\(\displaystyle{ (a+b)^{2}-4ab}\) Jednak odpowiedź jest inna w dodatku nie ma w niej \(\displaystyle{ -4ab}\), które usuwam stosując wzór skróconego mnożenia:
\(\displaystyle{ \left| (2+\left( -1\right) )^{2}-4 \cdot 2 \cdot \left( -1\right)\right|=\left| 4-2 \cdot 2 \cdot 1+1 +4 \cdot 2 \cdot 1 \right|=\left| 4+2 \cdot 2 \cdot 1+1\right| =\left| 9\right| =9}\)
To oznacza, że \(\displaystyle{ \left| 4+2 \cdot 2 \cdot 1+1\right|}\) to nic innego jak \(\displaystyle{ a^{2}+2ab+ b^{2}}\) czyli \(\displaystyle{ \left| (a+b)^{2} \right|}\). Wartość bezwzględną w tym przypadku mogę opuścić, ponieważ jak wcześniej obliczyłem wartość jej wnętrza jest dodatnia. Otrzymuję \(\displaystyle{ (a+b)^{2}}\), czyli dokładnie taką odpowiedź jak otrzymałem wcześniej. Jest ona błędna gdyż odpowiedź w książce jest inna. Proszę wskazać błąd w moim rozumowaniu.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19208
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Opuszczenie wartości bezwzględnej

Post autor: a4karo » 29 paź 2017, o 13:11

Zauważ, że przy założeniu \(\displaystyle{ a<0<b}\) ona składniki są dodatnie, więc możesz opuścić wartość bezwzględną (ale nie wolno zmieniać znaku przy iloczynie).

Reszta jest wynikiem zastosowania wzorów skróconego mnożenia.

Nie jest prawdą, że to wyrażenie jest równe \(\displaystyle{ a^2 +2ab+b^2}\), o czym łatwo się przekonasz obniżając jego wartość.

Bierp
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 29
Rejestracja: 29 kwie 2017, o 14:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 12 razy

Re: Opuszczenie wartości bezwzględnej

Post autor: Bierp » 29 paź 2017, o 13:24

Rozumiem, że chodzi Panu o takie rozwiązanie: \(\displaystyle{ \left| (a+b)^{2} -4ab \right|= a^{2} +2ab+ b^{2} -4ab= a^{2} -2ab+ b^{2}= \left( a-b\right) ^{2}}\). Tylko teraz nasuwa się pytanie: dlaczego mam zostawić wszystkie wyrażenia zawierające \(\displaystyle{ b}\) z początkowym znakiem, mimo iż mamy założenie, że \(\displaystyle{ b<0}\)? Biorąc pod uwagę ww. założenie początek zadania powinien kształtować się następująco \(\displaystyle{ \left| (a-b)^{2} + 4ab \right|}\). Wynik końcowy jest już uzależniony od tegoż podstawienia i stąd różnica w odpowiedziach jak mniemam.

a4karo
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 19208
Rejestracja: 15 maja 2011, o 20:55
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bydgoszcz
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 3247 razy

Re: Opuszczenie wartości bezwzględnej

Post autor: a4karo » 29 paź 2017, o 17:11

Bo \(\displaystyle{ (a+b)^2>0}\) a \(\displaystyle{ ab<0}\). Zatem \(\displaystyle{ -4ab>0}\). Stad wniosek, że \(\displaystyle{ (a+b)^2-4ab>0}\) a w taki razie wartość bezwzględna tej liczby jest właśnie jej równa.

Na pytanie: dlaczego masz zostawić wyrażenia z poczatkowym znakiem, odpowiedź brzmi: bo nie ma nic co by uzasadniało zmiane znaku.

Jeżli masz \(\displaystyle{ b}\) złotych, to niezależnie od tego, czy \(\displaystyle{ b}\) jest ujemne czy dodatnie masz \(\displaystyle{ b}\) złotych. Jeżeli \(\displaystyle{ b>0}\), to po prostu masz \(\displaystyle{ b}\) złotych, a jeżeli \(\displaystyle{ b}\) jest ujemne, to masz \(\displaystyle{ b}\) złotych, czyli \(\displaystyle{ |b|=-b}\) DŁUGU

ODPOWIEDZ